CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQIES DE DIFFÉRENTIELLES

Le produit symbolique dxdy change donc de signe quand on permute les deux facteurs.

Cette règ'le d'apparence paradoxale est, comme on le voit, une conséquence de la sig'nification même du produit dxdy. D'une façon g-énérale, si l'on adoptait la notation ab pour représenter le a b

déterminant

,,, , , il est clair que l'on aurait ab -^ ba = o. a o i

Considérons maintenant une variété E^ à p dimensions de l'espace à n dimensions, et soit

I = I F (a?j, x^, .... x^-^dx^dx.^ . . . dx^

une intégfrale multiple d'ordre p étendue à cette variété (pour simplifier les notations, nous n'écrirons qu'un seul signe I , ce qui ne

peut entraîner aucune ambiguïté).

Supposons que les coordonnées x^, x^, ..., x,^ d'un point de E s'expriment au moyen de p paramètres indépendants Ui, u^, ..., u , de telle façon que la variété Ep corresponde point par point à un certain domaine Rp de l'espace à p dimensions (m^, u.^, ..., «). L'intég-rale I est égalé à une intégrale multiple ordinaire étendue au domaine R^,

où J?^,j?j, ...,a;„doivent être remplacées dans F parleurs expressions au moyen de u^, u.y, ..., u^ (^). Quand on échange deux facteui-s consécutifs dans le produit dx^dx^ ... dx^,, ou voit encore que ce produit change de signe et, par conséquent, quand on permute d'une façon quelconque les facteurs du produit symbolique dx^dx^ ... 6/oCp, ce produit ne change pas de signe ou change de

(') Quand on permute les variables auxiliaires «/, le déterminant peut changer de signe, les deux signes possibles correspondant aux deux côtés d'une surface dans l'espace à trois dimensions. Nous supposerons que cet ordre a été fixé une fois pour toutes.

Pour tout ce qui concerne les propriétés des intégrales multiples d'ordre quelconque dans l'espace à n dimensions, je renverrai le lecteur aux Mémoires cités plus haut de Poincaré.

signe, suivant que cette permutation peut être obtenue par un nombre pair ou un nombre impair d' échanges entre deux facteurs consécutifs.

Tout ceci s^étend évidemment à tout produit symbolique de la forme (3) Ydx^^Ux^^ . . . dx^^,

aj, a,, ..., ap étant p nombres entiers différents, pris parmi les n premiers nombres, si on n'étudie que des intégrales dans l'espace à n dimensions. Si l'on range ces indices dans un autre ordre (a'j, t.'^, .,., a'^), le nouveau produit symbolique

Fdx„' dXa' ... dXa'

est égal au premier, ou égal au premier changé de signe, suivant que les deux permutations (a^, ol^, ..., a^), (a'^, a'g, ..., a'^) sont de même classe ou de classes différentes.

Il résulte aussi de la définition que tout produit symbolique (3), où deux indices sont égaux, est identiquement nul, car le déterminant fonctionnel

a deux lignes identiques.

Les expressions symboliques telles que (3) seront appelées des expressions monômes ; F est le coefficient, dx^dx^ . . . dx^ est l'analogue de la partie littérale dans uiî monôme algébrique ordinaire.

Plus généralement, toute intégrale étendue à une variété d'ordre p de l'espace à n dimensions est représentée par la notation

1 = /", où w est une expression de la forme (4) r^ = 2 ^«i«2 • • • «p dx^^dx^^ . . . dx^^,

les coefficients A^j^^^^ • • • « étant des fonctions des n variables