CHAPITRE III. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

x^. X,, ..., x^ et ia sommation étant étendue à toutes les combinaisons des n indices p ^ p. Nous dirons que w est une forme symbolique de différentielles de degré p.

11 est clair que le degré d"une forme symbolique ne peut dépasser le nombre n des variables, et que toute forme symbolique de degré n se réduit à un seul terme

Fdx^dx^ . . . dx^.

On peut supposer par exemple que, dans chaque combinaison, les indices sont rang'és par ordre de grandeur croissante, mais cela n'est pas nécessaire. Quand on est amené à chanerer l'ordre des Çacteurs dans un produit symbolique tel que dx^^ ^^«^ ••• ^^a . le coefficient correspondant doit être changé de sisrne si la permutation chanare de classe. A chaque combinaison d'indices p k p, correspondent donc p\ fonctions A„ „ ••• a« 4"i ^® peuvent différer que par le signe, deux fonctions Ajj j^, ... -et Ajj/ ^^f ... j^/ étant égales si les deux permutations {l^, a,, .,., x^) et (i\, x',, ..., i'^) sont de même classe, et de signes différents si les deux permutations sont de classes différentes.

Cette remarque trouve son application dans la réduction des termes semblables, c'est-à-dire des termes où figurent les mêmes différentielles , à l'ordre près. On peut toujours ramener les termes semblables à contenir les différentielles écrites dans le même ordre, en chanareant, s'il est nécessaire, le siarne de certains coefficients. Cela fait, on peut ensuite remplacer tous les termes semblables par un seul, dont le coefficient est éaral à la somme des coefficients de tous ces termes semblables. Par exemple, on a

Adxdyds -f Bdydsdx + Cdxdsdy = (A - B — Cjdxdyds.

La somme d'un nombre quelconque de formes symboliques de degré p est une forme symbolique du même degré dans laquelle on pourra réduire tous les termes semblables à un seul, en appliquant la règle précédente (^).

Remarque. — On pourrait ainsi convenir que, dans le second membre de la formule (4), la sommation est étendue à tous les

(') Une forme est identiquement nulle lorsque, après réduction des termes semblables, tous les coefficients sont nuls.

arrang-ements p à. p des n indices, en tenant compte des relations qui existent entre les coefficients correspondant à une même com binaison. Il est alors entendu que chaque produit

(IXfj^^ClX^^ ... cix^^

est mis à la place de

^ «^ '^2 ... ' «p du^du» ... du^,

M^, ^2, ..., Up étant p paramètres auxiliaires. La somme des termes qui se déduisent de l'un d'entre eux par une permutation dans l'ordre des indices est bien ég-ale au produit

A„ ... „ ^ g,' «a' • • •' Xp) du.du^ ... du^.

On se sert aussi quelquefois de p systèmes différents de différentielles, chacun d'eux correspondant à une des variables auxiliaires. Par exemple, une forme du second deg'ré

w = / kjkdxjdxk s'écrira aussi, avec deux systèmes de différentielles,

w = 2^^ilii^^'i^^h — dXk^Xi),

la sommation et mt étendue à toutes les combinaisons des n indices deux à deux.

23. Changement de variables. — Considérons d'abord le produit symbolique dx^dx^, et cherchons par quelle forme symbolique on doit le remplacer quand on remplace les variables x/ par de nouvelles variables yi liées aux premières par les relations (i).

Si les nouvelles variables yi sont remplacées par des fonctions de"

deux paramètres auxiliaires u, v, les variables xi se changent

aussi en des fonctions de ces paramètres, et le produit dx^dx^àoii

T)(x X9) être remplacé dans tous les calculs par J,/' — ^ dudv. Mais on a, '^ -^ D{u,v)

d'après les formules classiques du chang-ement de variables dans