CHAPITRE 111. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉREMIELLES

les déterminants fonctionnels,

D{jCi,jPi) V Dto. œj) D(//„ !/k) D(u,v) ^ ^{yi,yk) iy(u,v) '

la sommation étant étendue à toutes les combinaisons deux à deux des indices /, k, qui peuvent varier de i à n. Cette formule peut encore s'écrire, en multipliant les deux membres par dudv, et

remplaçant '-j'' '^'^' dudv par dyidyk.

C'est le résultat que l'on obtiendrait en efiFectuant le produit des deux difiFérentielles cte^ et dœ^,

(^^dy,+^dy,+ ... -^^dyn)(^du, + ...-\-^duX \3y, ^' :sy. ^- ^?y„ ^ J\^y, ^' ^yn ^"F

suivant les rèsrles habituelles du calcul alg-ébrique en avant bien soin d'écrire dans chaque produit partiel les facteurs dyi dans r ordre même où ils se présentent, puis en tenant compte des rèsfles spéciales au calcul svmbolique, c'est-à-dire des éjaralités

dyidyi = o, dyidyk + dykdyi= o.

Il est clair en eflFet que, dans ce produit, il y a un terme en dyidyk qui a pour coefficient -^ —tl et un terme en dykdyi qui a pour

coefficient — ^ — - . La somme de ces deux termes est bien ésrale à Zyk ^yi

— i-i^ — ^ dyidyk.

Le raisonnement est çénéral. D'après les formules du chang'ement de variables, on a

D(j7„ j-i, ..., j-p) ^ V D(j?i.3?2, .-, J?p) D(y/,yA-, •■■, yi) D(u„ a,, ..., «p) -- ^ D{yi, yk, .... yi) D(^/„ u^, ..., Up) '

la sommation étant étendue à toutes les combinaiisons des n indi-

ces p k p. En multipliant les deux membres de cette relation par du^du^ ... dUp, elle devient

C'est encore le résultat que l'on obtiendrait en effectuant le produit des p différentielles

(5) dx.dx.. ... dx„ = y IHœuX„...,œp) ^ .^ ^ ^^

dxi = l^l dy, + . . . + -^ dy^, dx, = ^^dy,^ ... +^^dy^,

7>l/l 7>yn

dx^='^dy, + ... +^^dy^ <>yi <^yn

d'après les règ-les ordinaires du calcul alg-ébrique, en ayant soin d'écrire les facteurs dyi de chaque produit partiel dans l'ordre où ils se présentent, et en n'écrivant pas les produits partiels où figureraient deux facteurs dyi égaux, puis en réduisant les termes semblables comme on l'a expliqué au numéro précédent.

La méthode est la même pour une forme quelconque de degré/). Il suffit d'appliquer la règle à chacun des monômes, puis de réduire les termes semblables.

24. Produits symboliques. — Considérons d'abord deux formes symboliques réduites à deux monômes

«^ = Xdx^dx^^ . . . dx^^, «y = Bdxpdxr^^ . . . dxp^

de degrés p ei q respectivement. Nous appellerons produit symbolique des deux monômes Mp, wy, et nous représenterons par uipu^q le monôme

wpwy = K'&dx^dx^^ ... dx^pdx^^ ... dx^^

obtenu en prenant pour coefficient le produit AB des deux coefficients, et en écrivant dans leur ordre tous les facteurs dxi de Mq à la suite des facteurs de bip.

Il est clair que ce produit w^wy sera identiquement nul, si l'une des différentielles dxi figure dans les deux monômes wp, a)y,etdans ce cas seulement.