CHAPITRE III. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

Considérons maintenant deux formes quelconques, de degrés p et q respectivement,

<^/) ^ A„ „ . . „ dx„ dx„ . . . dx„ y

^ ^^ '-iltti dp «I «2 OLp^

et imaarinons qu'on effectue successivement le produit de chacun des monômes de oj^ par chacun des monones de a>y d'après la règle précédente, puis qu'on fasse la somme de tous les monômes obtenus, en réduisant les termes semblables. La nouvelle forme ainsi obtenue est par définition le produit symbolique des deux formes tiip, o)ç, et se représente par (>>pWç,

tùpbia =: ^ A„ „ . . . „ Bc c . . . Q dx„ '. . . dx„ dxa . . dxa •

Il est clair que ce produit symbolique est de desrré p -\- q ; on aura donc wpWy := o. si la somme p -\- q est supérieure à n, puisqu'il n'y a que n facteurs dxi différents.

La multiplication symbolique est évidemment une opération distributive ; on a

&)j(ti)j 4- W3 -f ... + 0)/,-) = «jWj + WjWj + ... + WiUfr, (Wj + W2)(a)3 -j- W^) = tOjUj + W^W^ 4- 0)^(1)3 + WgU^.

Mais l'opération n'est pas commiitative. Quand on échang-e les deux facteurs wp, w^ du produit symbolique, on voit facilementque chacun des monômes de ce produit est multiplié par ( — i)W ; on a donc

(6) WpWg = ( I V^WyttJp.

Si les deux nombres p et q sont impairs, on a

(6)' bipOiq + tùqbip = o ;

si l'un des nombres p ou q est pair, on a, au contraire,

Supposons en particulier «y ^ wp ; si /? est impair, la relation (6)' prouve que le produit àtp.oip = (<Up)* est nul. Le carré dune forme

symbolique de der/ré impair est donc toujours nul identiquement.

Le produit symbolique d'un nombre quelconque de formes symboliques wp, r^q, &Jr, ... se définit de proche en proche comme le produit algébrique d'un nombre quelconque de facteurs. Par exemple le produit MpMqMr s'gbtient en efï'ectuant d'abord le produit symbolique wpw^, et en multipliant ensuite ce produit par wr. Il est clair qu'il faut ici tenir compte de l'ordre dans lequel on écrit les facteurs, à moins que tous ces facteurs ne soient de deg-ré pair. Supposons que, dans le produit symbolique

nous intervertissions deux facteurs w , m,^, de deg'rés/>et q respectivement, séparés par plusieurs autres facteurs dont la somme des deg-rés est ég-ale à r, r étant nul si les deux facteurs w , w. sont

consécutifs. Pour faire cette opération, on peut faire passer w.

devant w , puis faire passer o)^ à lu suite des autres facteurs qui

séparaient w^ et w,^. Il est clair que cette opération revient à faire

une certaine substitution sur les rang-s des différentielles d'un

quelconque des monômes qui fig"urent dans le produit symbolique.

Pour faire passer w,^ devant u>^, on a à effectuer en tout qip + r)

échang-es entre deux facteurs dxi consécutifs dans chacun de ces monômes ; pour faire passer ensuite u^ à la suite des facteurs qui

précédaient w^, il faut faire de nouveau pr échang-es de deux facteurs c/j?/ consécutifs. Le produit symbolique est donc multiplié par

( ï')qlp + r)+pr ::^ ( l)7P + r(P + l) ;

s'il n'y a pas plus d'un facteur de degré impair, dans le produit symbolique, un seul des trois nombres p -\- q, pq, r peut être impair, et le nombre pq + r{p + q) est toujours pair. Dans ce cas, le produit symbolique est indépendant de l'ordre des facteurs. Si les deux nombres /> et q sont de même parité, p -\- q est pair, et pq est pair ou impair suivant que p ei q sont tous les deux pairs ou tous les deux impairs. Donc, quand on échange deux facteurs