CHAPITRE III. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

dont les degrés sont de même parité dans un produit symbolique^ ce produit nechange pas si ces facteurs sont tous les deux de degré pair, et il change de signe s'ils sont tous les deux de degré impair.

II en résulte que tout produit symbolique, qui renferme deux facteurs identiques de degré impair, est identiquement nul. Car ce produit doit chan^r de sig^ne quand on échansre ces deux facteurs.

La puissance m''"" svmbolique d'une forme w est le produit symbolique de m facteurs identiques à w. Toute puissance d une forme de degré impair est, d'après ce qu'on vient de voir, identiquement nulle. II n'en est pas de même en <»-énéral des puissances d'une forme de desrré pair. Supposons w écrit sous la forme

W = OJj + Wj + ••• + «CT'

wj, w,, ..., w,^ étant des monômes. Comme le carré d'un monôme est toujours nul, on a

car le produit de deux monômes de désiré pair est indépendant de l'ordre des facteurs. On a de même

(03 — 2.3(fc)iWjW3 -I- W^WjW^ + ... -I- W,„2W,^iW,„),

et d'une manière 2;-énérale. w^ s'obtient en multipliant par/>! la somme de tous les produits/) à p des r monômes uj, wj, ..., w„.

Pour justifier la définition d'un produit symbolique de plusieurs formes, il est essentiel de démontrer que cette définition est indépendante .du choix des variables indépendantes. En termes plus précis, soient ot^, oj^, ..., '.j„, plusieurs formes et râleur produit symbolique. Si l'on fait un chang^ement de variables quelconque. les formes «j, «j, ..., w,„ se changent en de nouvelles formes cj^, nr^, ... TO^, ta se change en bt, et l'on a encore entre ces formes la relation

Cette propriété, qui joue un rôle capital dans la théorie des formes symboliques, est encore une conséquence des formules du chanarement de variables.

Pour simplifier l'écriture des formules, considérons d'abord deux formes monômes

wj = kdx^dx^dx^^ 6)2 = BdXj^dx^,

et leur produit symbolique

0) z=i wjWg =ARdx^dx,^dXç^dx,^dx-,

les coefficients A et B étant fonctions de n variables indépendantes a^j, x^, ..., x^. En introduisant un nouveau système de variables y^, y 2, ..., y,^, «i se chang-e en une nouvelle forme

CT, := A t; -^1' -^a^-^a) dyhdi/idiJj,

la sommation étant étendue à toutes les combinaisons 3 à 3 des n indices ; W2 se chang-e de même en une nouvelle foi^me

la sommation étant étendue à toutes les combinaisons des n indices 2 à 2. Dans le produit symbolique

"."= = *B 2^ Dfa;;;;;g' 2 |^|r^ dy,dy,dyjdy,dy,,

le produit dyhdyidyjdyndyi se présente évidemment plusieurs fois. Calculons par exemple le coefficient de dy^dy^dy^dyj^dy^. Si nous posons pourabrég-er

ce coefficient est ég-al, il est facile de le voir, au produit de AB par la somme

Or cette somme est ég-ale, d'après une propriété connue des déterminants, au déterminant

P(3?l, X'i,, Xs, J?4, 3?s)