CHAPITRE IIF. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

et on démontrerait de même que, quelle que soit la combinaison d'indices (A, i,j, k, f), le coefficient de dijhdyidyjdykdyi dans le produit symbolique mirs^ est ég-al à

Df-r,. JCj, J?8, J-f x^ ^iyh,yi,yj,yk,yî)

On a donc pour ce produit symbolique l'expression

'"'' = -^» 2 "pt; ";' t" ,T; «f <iy,dy>dyjdy^y,.

fYif i ^vy''' y^> yj' y^» y^)

Or le second membre n'est autre que la forme symbolique tït déduite du produit w :=: w^w^ par l'introduction du nouveau système de variables. On a donc bien

et la démonstration s'étend évidemment au produit de deux monômes de deg'ré quelconque. Si les deu.x monômes wj, m, ont une différentielle commune dxi, le produit « est identiquement nul. Il en est évidemment de même du produit symbolique tUjTit,, qui contient deux facteurs identiques du premier desrré.

Il est à remarquer que la régule du chans^ement de variables (n" 23) dans le monôme Adx, . . . dx, revient à effectuer le pro-

duit symbolique obtenu en remplaçant 0^03^^^ ,..., <ij:^ par leurs

expressions développées.

Considérons maintenant deux formes quelconques

« ^ (Uj -|- w, -|- ... + «,„,

Q = Q^ + i2, -f ... + fir, cDj, ûft étant des monômes . On a

Soient ra, njj, CTj, ...,wm.. n, lli, n.,, ..., Ur. ceque deviennent les formes oj, w^, ..., 'jim^ ^i. Q-i ^r par l'introduction d'un nouveau

système de variables ;

CT ^= TÎTj 4" ^2 -f- ... -|- TU/TJ ,

n= Hi 4- Hj 4- ... 4- Hr.

Le produit Mi^k se chang-e en nr/ll/i, etpar suite le produit mQ. se change en l'expression

qui est identique au produit-fra^ + ... + Tj3m){Wi^ + .•• + Wr) des deux formes transformées. Le théorème est donc vrai pour le produit de deux formes quelconques. Par un raisonnement bien connu, on en conclut qu'il est vrai aussi pour le produit d'un nombre quelconque de formes.

Application. — Nous dirons que/) formes linéaires w^, m^, ..., w^ sont indépendantes lorsqu'il n'existe aucun système de coefficients \, \, ..., A^, dont l'un au moins n'est pas nul, tel que l'on ait identiquement

Pour que le produit symbolique de p formes linéaires soit nul, il faut et il suffit que ces p formes ne soient pjàs indépendantes ,

lO La condition est suffisante . — Supposons en effet que les /> formes wj, w,, ..., w^ vérifient l'identité (7), le coefficient \^ par exemple n'étant pas nul. On peut alors écrire cette relation

S. = [J-i^i + [^2^2 + ••• + F-p-i^^p-i. et le produit

w^Wj ... w^ ='a)iW2 ...a>p i([J.iWi + [x^oj^ + ... + ;J.j,iW^,i)

est nul, car chaque produit partiel contient deux facteurs linéaires identiques.

2° La condition est nécessaire. — Supposons d'abord que l'on ait n formes linéairement distinctes

ai^dx^ + ... 4- auidxn, {i = i, 2 ... n);

le déterminant