CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

est alors difiFéreot de zéro. On véritie aisément, d'après la règ'le de la multiplication symbolique, que l'on a

fe)^ù>2 ... w„ = \dx^dx^ ... dx^

et par suite le produit &>iw, ... cj„ n'est pas nul.

Si l'on a/j formes linéaire w^w», ..., ^p{p<in) indépendantes, on peut toujours leur adjoindre n — p autres formes Wp+j, •••, w„ formant avec les premières un système de n formes linéairement distinctes. D'après ce que nous venons de voir, le produit w^w^ ••• <•>« n'est pas identiquement nul. lien est donc de même du produit

25. Diviseurs linéaires d'une forme. — Une forme symbolique il est dite divisible par une autre forme w, s'il est possible de représenter la forme Q. par un produit symbolique dont w est un des facteurs: il = Q.^o>; la forme w est alors un diviseur de Q.. II est toujours possible de reconnaître par des calculs linéaires si une forme donnée Q est divisible par un autre forme donnée w ; soient en effet /> et /> — /' les deg'rés de ces deux formes. La forme Q^ doit être de degré r, et les coefficients inconnus de cette forme doivent satisfaire à un certain nombre de relations linéaires que l'on obtient en écrivant que les coefficients des mêmes termes dans le produit symbolique Q^w et dans Çl sont identiques. Nous allons nous occuper en particulier de la recherche des diviseurs du premier désiré d'une forme.

Pour que Q soit divisible par une forme linéaire w, il faut et il suffit que le produit Qb>soit identiquement nul.

Il est évident que la condition est nécessaire, car le produit symbolique Qw contient alors deux facteurs identiques du premier degré. Pour démontrer que la condition est suffisante, supposons que (i) contienne dx^, de telle sorte que l'on puisse exprimer </ic„ au moyen de dx^, dx^, ..., dx„y, w,

dx^= xw + OL^dx^ + ... + i„i</x„i, X 7^ o.

La forme Q peut alors s'exprimer au moyen de dx^, dx,, ..., dx„iy w et s'écrire

Qi et ûj étant deux nouvelles formes qui ne renferment que G. Prob. 7

dx^^ dx^, ..., dx^^i. Le produit Qw = ii^w ne peut être identiquement nul que si la forme i2i est elle-même identiquement nulle.

Soit en effet

Ps^ik...idxidxk ... dxi

un terme quelconque de i2^ ; le coefficient de dxidxh •.. dxidxn dans le produit symbolique Q^w est ég-al à — '^' "^ , et par conséquent ce

produit ne peut être nul que si tous les coefficients Aik...i sont nuls. La forme ii est donc ég-ale au produit symbolique Sl^o).

Pour reconnaître si une forme Q, de deg"ré pan variables admet des diviseurs linéaires, on cherchera à déterminer n coefficients a^, ag, ..., a^ de telle façon que le produit

Qw = Çl((x^dxi + cL^dx^ + ... 4- oL^dx^J

soit identiquement nul. Comme ce produit est de deg'ré /> + i, on

, . n(n — i) ... in — p) , .• i - • x u

aura en tout — ■ '—- — ^; — —'-^ équations linéaires et homoerenes

pour déterminer les coefficients a,. Si ces équations sont incompatibles, la forme Q. n'admet pas de diviseur linéaire. Lorsqu'elles sont compatibles, elles admettent r systèmes de solutions linéairement distinctes, et par suite la forme £2 admet r diviseurs du premier degré w^, m^, ..., w^, linéairement indépendants.

La forme Q. est alors divisible par le produit symbolique toi^a . . . Mp, ainsi qu'il résulte de la propi^iété suivante : Si une forme Q. est divisible par k facteurs ( /c^ n) du premier degré w^, (Oj, ..., w;^, linéairement distincts, elle est divisible par le produit W^0)2 .... WA-.

Il nous suffit évidemment de montrer que si le théorème est établi pour k — i facteurs linéaires, il est vrai aussi pour k facteurs. Soient

w; = (Xi^dXi -f- ... -1- (XindXn (i = 1 , 2. ..., k)

k formes linéaires indépendantes ; tous les déterminants d'ordre k déduits du tableau

cL/fi y.k2

f^kn