CHAPITRE ni

FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES 99

ne peuvent être nuls à la fois. Nous supposerons par exemple que le déterminant

«A-ft

n'est pas nul, de sorte que dxi, dx^, ..., dxk peuvent s'exprimer linéairement au moyen de wj, w,, ...,(ùti,dxk^i, •••, dxn- Soit maintenant Q une forme telle que l'on ait à la fois

Qwj :=r o. Qw.^ = O, ..., ÛO);^ = O ;

nous voulons démontrer que Q est divisible par le produit symbolique Wj(i>2 ... w^-. Le théorème étant admis pour A: — i facteurs, on

a déjà

tOjWj ... WA-— lîij,

et la forme Qj peut s'écrire à son tour

Q, = iij + QgCoA- + i2„

ûg et Q3 ne contenant que les différentielles </xa-+i, ..., dxni et un terme quelconque de Q^ étant divisible par une des formes (Oj, . . ., a)/j i. On a donc

û =: WjWg ... W/j l(Û, 4- ûgWft),

î2wA- =: WjCO:, ... (i)A-— i^jW^-.

Pour que Qwa- soit identiquement nul, il est nécessaire que ûj soit identiquement nul. Soit en effet

^ij ...idxidxj ... dxi .

un terme quelconque de Qj, tous les indices i, J, ..., l étant supérieurs à k. Le coefficient de dx^ ... dxkdxidxj ... dxi dans aw^ est au signe près A,y.../A; il faut donc que l'on ait Aij .,.1 = o pour toutes les combinaisons d'indices, et par suite on a

Il suit de là que, si une forme £1 admet r diviseurs linéaires

LEÇONS SUR LE PROBLÈMK DE PFAFF.

distincts et r seulement (^)^, ojg, ..., cv, cette forme est égale à un produit symbolique de r -\- i facteurs

(8) ' il = iilWjOJg ... O),,,

la forme ii^ n'admettant plus de diviseur linéaire.

Cette décomposition peut cFail leurs être effectuée d'une infinité de manières. Si l'on pose en effet

^1 = ^hi^i + û'jgW, + ••• + «IrWr,