a2^M^ -\- r/jjoj, + ••• 4- a^pf^r

Tjr = «ri^i + «/'i'-Ji + ••• + arrbir,

le déterminant des coefficients rt,/,- n'étant pas nul, on a

TJTjTïTn • . • ^r

JjWa ••• <'V,

an an . . . a,.

el il est aussi divisible par le produit to^cto ... v^r-

Hemarque. — Soitii une forme de dej^ré n — i an variables ; le produit symbolique ii{ci.^dx^ -f ... + a^^dœ^^) contient un seul terme en dx^dx^ ... dx^^. Ces coefficients a/ sont assujettis à vérifier une seule relation linéaire ; il y a donc n — i diviseurs du premier degré linéairement distincts et, par conséquent, toute forme il de degré n — / à n variables peut être représentée par le produit symbolique de n — i facteurs linéaires (CJ. n" 27).

Exemple. — En dehors du cas que nous venons de citer, une forme symbolique quelcon(]ue n'admet pas en général de diviseur linéaire, si ses coefficients sont arbitraires.

Considérons par exemple une forme du second degré à quatre variables, ii = Ai^dxidxz + Aisdxidxs + A^dxidXi + A^^dx^dxa + A^^dx■idx^

+ A^^dxadx^ ; le produit il{uidxi + oL^dX) -j- '^^dx^ + (Xidx\) développé est égal à

(Ai2«3 — Ai:ifZ2 + Ai^^'/i)dXidxzdx^ + (Ai2«4. — A,4«2 + A^^r/.l)dx^dx■idx^ + (Ai3«4 — Ai4«3 + A3i«i)dxidxridXi

+ (A23«+ — A2^«3 + A;nK2)dX2dX5dXi.