CHAPITRE I. — FORMES CANONIQUES. H

supposer j.^ i. et résoudre ce système par rapport aux dérivées -?^ ce qui donne un système de la forme

p^=:yi{zi^,0^, ..., On) 0=1. 2,..., n).

L'intéofrale générale dépend de n — i constantes arbitraires, abstraction faite de la constante que l'on peut toujours ajouter kyn. Soient, pour fixer les idées, *i, «I»^, ..., <I>„j un système de n — I intégrales premières distinctes des équations

OnidXi 4- ... + anndXn

posons

*i(^i xr) = y^^ ...; *„i(a?i, -, J?J = yn-i-

En prenant ^j, ^.,, ..., ijn—i. comme constantes d'intégration, les formules qui donnent l'intégrale générale du système (i2j,

définissent un système de n fonctions distinctes de y^, y^, ..., i/n satisfaisant aux conditions voulues. La fonction Y^ est nulle, tandis

que la fonction Y,, qui satisfait à la relation — - = Y/, est de la

forme e^'*4>,(yj, y.,, .... i/n—i)- Par le changement de variables que nous venons de définir, la forme de PfafiF donnée w se change donc en une nouvelle forme de Pfaff

il = ey^i^^dy, 4- ... + *„-,c?y„i],

<ï>j,<tj *n-t étant des fonctions des n — i variables y^^, ..., yn—t.

seulement.

2** Si le déterminant A est nul, ce qui a toujours lieu lorsque n est impair, le calcul précédent ne s'applique plus. Mais on peut alors satisfaire aux n équations

(i4)' andx^ 4- ... + ai„dxn=^ o ,/ =1,2, .... n).

par des valeurs non toutes nulles de dx^, dx^i ..., dxa- Soient

, . , dœ, dxx dx,i ,

(l5) -yJ- = -^=...=-—=dj/n

un système de solutions de ces équations. On peut avoir

■X^X^ + ... + >„X„ :;£ o, ou AjX, 4- ••• + %iXn=^ o. Dans le premier cas, nous supposerons que l'on a /^ AjX/ = i, ce qui est

permis, puisqu'on peut multiplier tous les a/ par une fonction arbitraire. Les calculs qui ont été faits plus haut prouvent que le système

(lo/ Y«=i, ^=0

et le système

(il) yXh~=i, ' y T^ S > ^/iA-r^ i> = 0

sont équivalents. Par suite, si les formules x/= 9((yi, •••, yn-i^Un) «. représentent l'intég-rale g-énérale du système (i5), y^, y.y, ..., ijn-i désig-nant n — i constantes arbitraires autres que celle qu'on peut toujours ajouter à yn-, ces fonctions ç/ sont des intégrales du système (lo)', et le chang-ement de variables correspondant conduit de la forme donnée w à une nouvelle forme de Pfaff

il — Y^dy^ + ... + Yn-idyn-i + dyn,

où Y^, Yg, ..., Yn-i ne dépendent que de y^, y^, ..-, yn-i ■

Si l'on a a^Xj -j- ^^X, + ... + A«X«=:o, on voit de la môme façon que le môme chang-ement de variables conduit de la forme donnée co à la nouvelle forme de Pfaff

Çl=:Y^dy^ + ... + Yn-idyn-i,

où Yj, ..., Y,j i ne dépendent que de y^, ..., y,i-i-

On peut donc toujours, par un changement de variables con-