CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

Pour que ce produit soit nul, les coefficients a,, «■>, «3, «* doivent vérifier les quatre relations

I AajKi — AisK* + Ai-jK, = o,

1 A„Ot, — Ai4«3 + A,j«4 = o,

^^' ) Mi'^i — A,4«s + Aisa. = o,

» A3t«2 — Ajt«3 4- Aîsa^ = o.

H faut donc que le déterminant symétrique gauche

O A, 2 — Ai3 A^3

— A, 2 o A,4 — A; 4 A, 3 — An o Ast

— A25 A.2i — Aji o

(A,, A3, + A.jA^â + AnAj,)'

soit nul. S'il en est ainsi, les équations (9) se réduisent à deux équations distinctes, et la forme il admet deu.x diviseurs du premier degré linéairement distincts. II était évident a priori (jue si il est divisible par un facteur linéaire, il en admet une infinité. Si l'on a mis il sous forme d'un produit symbolique

il =: wi&)2, on aura aussi

pourvu que les fonctions ).i, ^2, ."1, ."2 vérifient la condition ).i!*.

On verra plus loin (Chap. Vil) que, par un changement de variables convenable, on peut ramener un système de deux équations de Pfaflf à quatre variables à l'une des formes suivantes

(I) dyi — ysrfyi = o, dy-^ — y^dy^ = o,

(II) dyi — o, dy^ — yidyi = o, (UI) dyi = o, dy.> = o.

Lorsque le déterminant A est nul, la forme il peut donc être ramenée, par un changement de variables, à l'une des formes suivantes ;

ii = K(rfy2 — !/3dyi){dy3 — y*rfyi), il = Kdyi{dy3 — y+rfyi), il = Kdyidiji.