Formes dérivées. — Soit

dx„ dœ. ... dx„

«iKa . . . «p une forme symbolique quelconque de degré p. On appelleybr/ne

dérivée de w, et on représente par la lettre w' la forme dé deg^ré p + I définie par une somme de produits symboliques

(lo) w' = > c/A„ ^^ r,dx„dx„ ...c/x„.

En remplaçant tous ces produits symboliques par leurs expressions développées, il vient

la sommation étant étendue à toutes les combinaisons des n indices /> 4- I à /> -f I . Les coefficients de cette nouvelle forme ont deux expressions différentes suivant la parité de p. Si p est pair, on a

(il) JId

__ «1OC2 • ■ ■ «p «2 • . «/)«JP+1 «fl+lKl • • . «fl— 1

avec des signes + seulement dans le second membre. Si p est impair, on a

ai«2 . . . «p «2 . . . «p«p+l «p+l«i . . • «p— 1

avec le signe -|- et le signe — alternativement. Si w est une forme linéaire

w = k-idx^ 4- ^%dx^ -I- ... + k^^dx^,

la forme dérivée w' a pour expression

ou, en remplaçant dxkdxi par dxj^xi — dxi^Xh, avec deux systèmes de différentielles (no 22)