CHAPITRE III. FORMES SyjlBOLlQUES DE DIFFÉRENTIELLES
La forme dérivée w' cT une forme de Pfaff est donc identique, au signe près, au covariant bilinéaire (n'^ 3).
Nous allons monlrer dans ce paragraphe que les propriétés essentielles du covariant bilinéaire s'étendent à la forme dérivée d'une forme de degré quelconque. Nous allons d'abord démontrer que to' est un covariant de w, relativement à tout changement de variables. SI avec des variables nouvelles ^i, y,, ...,y«, la forme w se change en n :
cj = 7 B „ du„ du„ . . . du„ ,
la forme w' dérivée devient, avec les mêmes variables, la forme a' dérivée de ra,
Prenons, pour simplifier l'écriture, une forme du second degré, et soient
to = ^Xjkdxjdxk, rn= 2^Bikdyidyk
deux formes symboliques qui se déduisent l'une de l'autre par un changement de variables x/= ç!/(^i, y^, ...,y/i). Supposons que i/i, y^, ..., y„, et par suite 07^, x,, . ..,x,j soient exprimées au moyen de trois paramètres auxiliaires a, v, w. Les formes w eta deviennent respectivement
- = 2 A,.- S -5^^ dudv + ^^p^ dvdw + ^^^dwda)
r.= y B,.- \ 5(p^ dudv 4- 5(^ dvdw + 5|p^ dwdul. ^^ ) D(«, v) \)(v, w) D(w, o) (
En égalant les coefficients de dudv, dvdw, dwdu dans l'identité co = CI, on a donc les trois relations
2--^"'- D(«,., -J^. "■ D(«,., ' Vi D(J-/, J-fe) V p., D(///, //A-)
--i^* DK«) -^. '* DK«) •
Différentions ces trois relations par rapport à lo, u, v respectivement et ajoutons les relations obtenues ; en tenant compte de l'identité
Dit»
B{u, v) )^ :^u ( D{o, w) S'^ :>v\ Yy(w,ii) ) il vient une nouvelle relation
y ^A;7f ( Tjjxu JCk) ^-7 D(a:i, Xk) ^xi D(xi,, xk) dx' A^j^ ^xi \ D{u,o) 7^w '^ D(t),a)) D« "^ D{w,u) TïT
__ y ^B/^ ( D(///, //A-) 3/// D(//i, //fe) ?/// D(///, //A-) :>/// ) ^.^^ ^^y; ^ D(«,/;) D;/' "^ D(?;, ;t>) ^m "*" D(«y, «) Dy y
ou plus simplement
y ^Mic T>{xi, Xk, xî) y dB/a: D(.y'\ //fe, y/)
ikl ^^' D(«, y, «>) ~,-^; 3y^ Y){u,v,w)
On peut encore écrire cette relation en multipliant les deux membres par dudvdw^
2 ^^d^idxkdxi= 2] ^^ dijidijhdiju
/, ft, i
Xi '^'
ou
(i3) 2^ dkihdxidxh = ^ dBikdi/idyk.
Or les deux membres de cette identité sont précisément les formes dérivées w' etcr' des deux formes w et nr. La propriété énoncée est donc établie pour les formes du second degré, et la démonstration est la même pour les formes de deg"rc quelconque.
Si une forme m est la somme de plusieurs autres m^ -f ... 4- ««V, il est évident que w' est égale à la somme des dérivées w'^ + ••• + <^V- Cherchons de môme la dérivée d'un produit <o = ««Ji^g, et considérons d'abord le cas où w^ et w^ sont deux monômes,
(0 . = Adx„ . . . dx^, , 0), = Bdxo^ . . . dxa , (ù = a),a>„ =z ABdx^, ... dx„ dxo ... dxa .
