CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

On a

w' = {(^lOJo)' = (AdB + BdX)dx^ ... dx^ dxa ... dx^ = dkdx^dx^^ ... dx^^iBdxp^ ... dx^^) + i-iyXdx^^ ... dx^idBdx^^ ... dx^^\ c'est-à-dire

En reprenant le raisonnement du n" 24, on voit que la formule est vraie pour le produit de deux formes s^'mboliques quelconques. Plus sfénéralement, la dérivée d'un produit symbolique de m for^ mes Wj, Wj, ..., ft),jj a pour expression

(i4) (u^w, ... wj'= w>, ••• "mzb f^iw's •■• w„it ...

ce qui montre que la dérivée d'un produit est nulle, si chaque facteur a une dérivée nulle.

On a déjà observé (n" 3) qu'une forme de Pfaff « est une difiFérentielle exacte lorsque la forme dérivée w' est identiquement nulle, et dans ce cas seulement. Si on convient de regarder une fonction ordinaire des variables J7j, x,, . .., x^ comme une forme d'ordre zéro, on peut dire que toute forme du premier ordre, dont la dérivée est nulle, est elle-même la forme dérivée d'une forme d'ordre zéro. La propriété précédente peut alors être considérée comme un cas particulier de la proposition g-énérale suivante :

Pour qu'une /orme w de degré p soit la dérivée d'une forme de degré p t— i, il faut et il suffit que la dérivée w' soit identiquement nulle.

On peut vérifier immédiatement sur les expressions (ii) et (12)

des coefficients J\o„ „ „ , . de oj' que la dérivée de w' est identi-

«jao • . • *p-rl *

quement nulle, c'est-à-dire que la forme que l'on déduit de w' de la même façon que l'on déduit w' de w, a tous ses coefficients nuls. M^is on peut le voir plus simplement en observant que la forme dérivée d'un produit symbolique tel que

dXdx„ ... dx„ a, «p

est nulle, puisque tous les facteurs ont une forme dérivée identiquement nulle (formule i4). La condition énoncée est donc nécessaire.

Pour prouver qu'elle est suffisante, nous n'avons qu'à g-énéraliser la démonstration du n° 3, où 4e théorème énoncé a été établi pour les formes du second deg-ré. Soit w une forme de degré quelconque /> > 2 dont la dérivée est identiquement nulle, c'est-à-dire dont les coefficients vérifient, suivant la parité de p, l'un des deux systèmes de relations

:>A dA dA

quelle que soit la combinaison d'indices {a.^,a.^, ..., a^+J. Nous voulons démontrer qu'il existe une autre forme il de deg-i'é /) — i (et même une infinité)

aj ... «p

ap+l«i---«p-l

Tyx

«p-fl«i ..-«p-i

«las . . . v.p-é^v.y • • • ^^ap i

dont la forme dérivée il' est identique à w.

Nous le démontrerons en supposant que p est un nombre pair ; la démonstration serait toute pareille pour^ impair. Considérons d'abord une forme de degré/) k p -\- i variables, que nous écrirons, eu modifiant un peu les notations du cas général,

w =A^dx2 ... dXp^^ 4- A^dxs ...dx^^^^dx^^ -\- ... + k^j^^dx^ ... dx^ ; la forme dérivée contient un seul terme qui est, p étant pair,

^,^/^ aA^ ^^ࣱL\dx,dx,..,dxp+u

et les conditions (i5) se réduisent à une seule

îyXi ?>X2 d^Xp+i