CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

Cette condition étant supposée vérifiée, soit fi une forme de degré p — i

Q = C^f/x.2 ... dXp -\- C^dœ^ ... dœ^^dx^ + ... -|- C^dx^ ... dx^i,

où ne figure pas la difiFérentielle dXp^,^ ; on a, puisque p — i est impair,

\:>xi 3a-2 ?j?p/ * - ^ ^— dx^ . . . dx„dx„,,

"^ â^TT ^-^3 • • ■ dx^^.dx, — ... + —^ dx^^.dx, . . . dx^,. Pour que cette forme ft' soit identique à w, il faut que l'on ait

aXl 3J?2 3J?3 '"' ?J?p ' P+''

On tire des./) premières relations

C^= j A^rfjîp-r-t 4- U,, ...,Cp= / ApC?Xp-f-i +U

(Xq étant une constante choisie à volonté, et L\, Ug, •-., U^ c^es fonctions arbitraires des p variables Xi, x,, ..., x^,. En. remplaçant Cj, Cj, ..., Gp par les expressions précédentes dans la dernière des relations (i8), et en tenant compte de la condition (17) que vérifient les coefficients A/, elle devient

On peut choisir arbitrairement p — i des fonctions U/, et la dernière s'obtient par une quadrature.

La proposition est donc établie pour une forme de degré/) à yo + i variables. Pour prouver qu'elle est arénérale, il suffira donc de montrer que, si elle est vraie pour une forme de degré p à. n — ■ i

variables, elle est encore vraie pour une forme de deg-ré p k n variables.

Soit w une forme de deg-ré pair k p k n variables dont les coefficients A„ „ ,^ vérifient les relations (i5) pour toutes les com-

binaisons d'indices p k p. lï s'ag-it de prouver qu'il existe une forme de deg-ré p — i ,

(20) ii=>C' „ „ dx., ... dx

telle que l'on ait, pour toutes les combinaisons d'indices,

Nous pouvons même supposer que la différentielle dx^ ne figure pas dans ii, de telle sorte que tous les coefficients C où l'un des indices est cg-al à n, sont nuls.

En considérant les relations (21) où l'un des indices est ég-al à ?i, où l'on a par exemple a^ = /z, on en tire

et par suite

a^ étant une constante, et U„ „ „ , (x, .a:^, ..., .Xn-i) unefonc-

tion arbitraire des n — i variables j?^, ..., Xn~i. Il reste à montrer

que l'on peut choisir ces fonctions U „ , de façon à satisfaire

aux autres relations (21) où tous les indices sont inférieurs à n. Si, dans une de ces relations, on suppose tous les indices inférieurs à n, elle devient, en remplaçantles coefficients Gij.,, i parles expressions précédentes