CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

OU, en tenant compte de la condition (i5), où les indices sont

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On peut encore écrire cette condition

•Tn =: «0 "«p «p— 1

(22) rA ) = «I. ■.«/>-! — ''z^'^' • • • "/'-^

et on a, pour déterminer les fonctions U//... /, un système d'équations tout à fait pareilles aux équations (21), où x^ a été remplacé dans le premier membre par une constante a^. Or. si l'on prend dans les conditions (i5) le groupe formé par les conditions où ne fig-urent que les coefficients dont tous les indices sont inférieurs k n, ce groupe de conditions exprime précisément que la forme Wj déduite de oi, en v remplaçant j"„ par la constante x^ et dx^ par zéro, a une dérivée w'j identiquement nulle. Le théorème que nous voulons démontrer étant supposé vrai pour une forme de degré p k n — i variables, les équations (22) sont donc compatibles par rapport aux fonctions U^ , ..., l;^ i» ®* P^^ conséquent le théorème est vrai aussi pour une forme de degré p k n variables.

La démonstration prouve même que. si les relations (i 5) sont vérifiées, il existe une infinité de formes i> de degré p — i ayant w pour forme dérivée, et dont les coefficients se déterminent par des quadratures. Si l'on a obtenu une de ces formes il, toutes les autres s'en déduisent immédiatement. En effet, si deux formes il, Oj ont la même forme dérivée w, la différence il — li^ a une dérivée identiquement nulle, et par suite cette différence est la dérivée d'une forme^ de degré/) — i. La réciproque est évidente. Si l'on a Q' z= CD, il est clair que la forme ii + ci' a aussi w pour forme dérivée, quelle que soit la forme de m de degré p — i .

Les formes dérivées interviennent dans la g-énéralisation de la formule de Stokes. Soit m une forme symbolique de degré/?; l'intégrale Ip = Jm, étendue à une multiplicité fermée E^ d'ordre /> de l'espace an dimensions, est égale, d'après le théorème de Stokes généralisé, à une intégrale d'ordre p + i étendue à une multiplicité Mp^\ n p -\- i dimensions limitée par Ep, et cette nouvelle intégrale est représentée par/w', où w' est précisément la forme dérivée de w (i). Cette liaison entre les deux formes symboliques w, m' explique bien pourquoi w' est un covariant de M, car elle est évidemment indépendante du choix des variables. Elle explique aussi pourquoi la dérivée de o' est identiquement nulle. En effet, l'intégrale /&/ étendue à une multiplicité Ejo-i-i peut être remplacée par l'intégrale /w étendue à la multiplicité Ep qui limite Ep-t-i. Il s'ensuit que V Intégrale Jm' étendue à une multijûicité fermée est nulle, puisque la multiplicité Ep disparaît dans ce cas. Or l'intégrale /w', étendue à une multij)licité fermée Epfi peut à son tour être remplacée par l'intégrale /m" (où m" est la forme dérivée de m') étendue à une multiplicité V'p-\-2, limitée par Ep-)-i. Cette intégrale devant être nulle, quelle que soit la multiplicité Ejo-t-2, il s'ensuit que la forme m" est identiquement nulle. Inversement, si une forme w de degré/) est telle que l'intégrale /w étendue à une multiplicité fermée quelconque Ep est nulle, m est une forme dérivée. Car l'intégrale /w' étendue à une multiplicité quelconque Ejj-f i doit être nulle^ ce qui ne peut avoir lieu que si w' est identiquement nul.

Les formes dérivées jouissent donc, dans la théorie des intégrales multiples d'ordre quelconque, des mômes propriétés que les différentielles totales dans la théorie des intég-rales curvilig-nes. Cette analogie justifie le nom de différentielles totales que leur a donné Poincaré ; pour éviter toute méprise, nous les appellerons différentielles totales symboliques.

Remarque. — Si dans une forme dérivée on remplace l'une des variables par une constante, et la différentielle correspondante par zéro, la forme à n — i variables obtenue est encore une différentielle totale symbolique. En effet si l'on fait par exemples; ^= G, «?iCj=:o, la forme obtenue ne renferme plus que les termes

J^ «iKâ . . . (Xp «1 «2 «p

(') Je renverrai pour la démonstration aux travaux cités de Poincaré. On suppose, bien entendu, que tous les coefficients de la forme w, ainsi que leurs dérivées, sont continus dans un domaine renfermant les multiplicités dont il est question dans l'énoncé. Voir, sur ce sujet, plusieurs Mémoires de M. BtiHL dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse (1912-1918).