CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

OÙ tous les indices sont différents de l'unité, et les relations qui expriment que cette forme est une différentielle totale symbolique sont comprises parmi celles qui expriment que la forme considérée est une forme dérivée.

27. Extension du problème de Pfafi'. — Etant donnée une forme linéairede différentielles co ^:=A^^dx^^ -\- A^dx^ + ... -{- A^dx^, où les coefficients A,- sont des fonctions des n variables xi, le problème de Pfaffpeut être posé comme il suit : Trouver dans Tespace à n dimensions toutes les multiplicités Mr à r dimensions (i ^r <^ n) telles que Vintégrale foy, étendue à une ligne quelconque située sur Mr, soit nulle. Si, au lieu d'une forme linéaire, on prend une forme symbolique w de degré quelconque p, une généralisation toute naturelle du problème précédent consiste à trouver dans Vespace à n dimensions foutes les multiplicités Mr à r dimensions (p ^ f"<i '0 telles que l'intégrale fuy, étendue à une variété quelconque d'ordre p faisant partie de Mr, soit nulle.

Ce problème d'une si grande srénéraJité comprend la plupart des problèmes classiques. Toute multiplicité de l'espace à n dimensions, satisfaisant à la condition précédente, sera dite une multiplicité intégrale, ou plus simplement une intégrale, de l'équation

Nous ne nous occuperons que des intégrales appartenant à des familles d'intésrrales telles qu'il passe une intégrale de cette famille et une seule par chaque point de l'espace, ou tout au moins d'un domaine assez restreint de l'espace. Ces intégrales Mr sont alors représentées par un système d'équations

(24) /i = C„ /, = C^, ...,fn-r = Cn-r,

Cj, C2, ..., Cn-r étant des constantes arbitraires.

La détermination de ces familles d'intégrales à r dimensions se ramène à l'intéerration d'un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre, dont l'étude ne semble pas avoir été abordée, lorsque p est > i . Il est facile de former ce système

d'équations en s'appuN ant sur les propriétés d'invariance d'un produit symbolique.

Proposons-nous d'abord de rechercher s'il existe des familles d'intégrales k ii — i dimensions. Soit

(25) f{x^, Xj, ..., xJ = G

une équation définissant une famille d'intég-rales de cette espèce. Imag-inons que l'on prenne un nouveau système de variables de façon que l'équation de cette famille d'intég-rales soit, avec les nouvelles variables,

la forme w se chang-e en une nouvelle forme symbolique ttt de deg-ré p en di/^, di/z, ..., dt/j^. Pour que l'intég'rale J^ra étendue à une multiplicité quelconque de deg-ré p, sur laquelle ?/^ est constant, soit nulle, il faut et il suffit évidemment que di/^^ figure dans tous les termes de m ou, ce qui revient au môme (no 25), que le produit tjdi/^ soit identiquement nul. Si l'on revient aux variables primitives, le produit Tidy, se transforme en wdf{n° 24), et l'on peut énoncer le théorème suivant :

Pour que les muUiplicItés M^^^ définies par r équation f =^ C, soient des intégrales de r équation w =o, il faut et il suffit que le produit sijnibolique o)df soit identiquement nul.

En ég-alant à zéro les coefficients de tous les termes de ce produit développé, on obtient un système d'équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordi^e qui doivent être compatibles pour que l'équation w = o admette des familles d'intég-rales an — i dimensions. Dans le cas particulier où p = n — i, le produit symbolique (àdf ne renferme qu'un terme en dx^dx^ ... dx.^, et le système qui détermine /'se compose d'une seule équation.

En simplifiant un peu les notations, écrivons w = K^dx^ ...dx^ + A^dx^ ... dx^dx^ 4- ••• + A^dx^dx^ ... f/^„i ; le produit wdf a deux expressions difterentes suivant la parité de n. Si n est impair.

CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 113 et, si n est pair.

Suivant la parité de n, la fonction/ doit satisfaire à l'une ou l'autre des deux équations

Le résultat s'explique facilement dans l'espace à 3 dimensions : soit

« = Xdijds -\- Bdsdx + Cdxdy ; on a

r.Hlf= ^A^+B^ + C^^ dxdydz.

Pour que l'intégrale /&>, étendue à une portion quelconque d'une surface S représentée par l'équalionyï^^ soit nulle, il faut et il suffit que la fonction /(a:*, y, r) vérifie la condition

' Djf- ?y ' Dr

Ceci est bien d'accord avec la signification de l'intégrale Tw, car un élément de cette intégrale est égal à (Acos a + B cos S -{- C cos v) diy a, p, '/ étant les angles que fait la normale à la surface avec les axes, et la condition (26)" exprime précisément que la normale est perpendiculaire à la droite de paramètres directeurs A, B, C.

Si w est de degré quelconque, et admet r diviseurs du premier degré linéairement distincts w^, w^, ..., w^, la forme w est égale à un produit symbolique

la forme i> n'admettant plus de diviseur linéaire. Pour que le produit b)dj soit nul, df doit être un diviseur de w et par suite une combinaison linéaire des r diviseurs wi, Wî, . . . , w^.

On est donc ramené à la recherche des combinaisons intésrra-

bles d'un système de r équations de Pfaff {^Leçons, n" 25). Si w G. Prob. 8

n'admet pas de diviseur linéaire, on ne peut avoir (Aidf=2 o, quelle que soit la fonction y.

La recherche des familles d'intégrales à r dimensions conduit à un problème d'analyse plus compliqué. Supposons que les équations (i?^) représentent une famille d'intég-rales, et imag'inons que l'on ait choisi un nouveau système de variables tel que cette famille d'intégrales soient représentée par les équations

Soit w ce que devient la forme oj avec ce nouveau système de variables. Pour que l'intég-rale /tâs, étendue à toute multiplicité d'ordre />, sur laquelle ?/j, y.^, ..., i/n-r ont des valeurs constantes, soit nulle, il faut et il suffit que chaque terme de nr contienne au moins un des facteurs dy^, ..., dyn—r, ou, ce qui revient au même, que le produit symbolique mdy^ ... dyn—r soit identiquement nul. En revenant aux variables primitives, nous avons donc la proposition suivante :

Pour que les équations (24) représentent une famille d'intégrales à r dimensions de V équation w := o, il faut et il suffit que le produit symbolique

^dfdf^...dfn-r

soit identiquement nul.

En égalant à zéro tous les coefficients de ce produit symbolique développé, le nombre des équations obtenues est ég-al au nombre

g" des combinaisons de n objets n -\- p — r h n -\- p — a*. Le

nombre des fonctions inconnues étant ég-al à r, il y a lieu de présumer que ces équations sont compatibles dès que r est égal ou

supérieur à C" ^~'^ , et ne le sont pas, tout au moins si les coefficients de 0) sont quelconques, si r est inférieur à C ^ , mais il y

aurait lieu de pousser plus loin cette étude, ce qui serait sans doute possible en généralisant les méthodes employées par M. Cartan pour les systèmes de Pfaff (*). 11 serait important en particulier de connaître la valeur minimum de /z — r. Il est un cas

(') Voir une note de M, Cerf dans les Comptes rendus {tome 170, p. 874; 1920).