CHAPITRE m. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉREMIELLES

limite où les équations du système précédent se réduisent à une seule, c'est le cas où p =r : on peut même choisir arbitrairement n — r — I des fonctions y), et la dernière est déterminée paiune équation linéaire du premier ordre. L'existence de ces multiplicités intégrales à /) dimensions était évidente a priori; en effet, si l'on se donnait j^^^i , . . , x,, en fonction de 0;^, . . . , JTp, ces n — p fonctions doivent satisfaire à une seule condition pour que

l'intégrale f ta étendue à la multiplicité ainsi définie soit nulle .

Rejiarque. — Pour qu'une multiplicité définie par les // — /■ équations/i := o. ^2 = o, . . ., /n—r ^ o soit une intéorale, il n'est pas nécessaire que le produit symbolique 'jf//"! ... rf/"/i r soit nul identiquement ; il suffit que tous les coefficients de ce produit développé soient nuls en tenant compte des équations yV= o elles-mêmes.

Les conditions pour qu'une multiplicité Mr soit une intégrale d'une équation symbolique a = o peuvent s'écrire d'une autre façon. Considérons la multiplicité Mr définie par les formules

Si on remplace dans w les variables aîr-i- 1 » •■•,0Cn par les expressions précédentes, et les différentielles par les expressions correspondantes, en ayant soin de conserver l'ordre des facteurs dans tous les produits, on obtient une forme symbolique «, de degré p à r variables, qui doit être nulle identiquement, puisque l'intégrale ^W] étendue à une multiplicité quelconque d'ordre p dans l'espace à r dimensions {xt, JCi, ..., Xr) doit être nulle. Il en est ainsi en particulier toutes les fois que r est inférieur à p, ce qui conduit à considérer toute multiplicité d'ordre inférieur à p comme une multiplicité intégrale d'une équation symbolique quelconque de degré />.

Si r est supérieur à/>, les fonctions yr+l, ..., ?/i devront satisfaire à un certain nombre d'équations renfermant les variables, les fonctions inconnues, et les dérivées partielles du premier ordre de ces fonctions.

Tout système d'équations aux dérivées partielles à un nombre quelconque de variables et d'inconnues peut toujours se ramener à un système d'équations de Pfaff, en faisant figurer dans ces équations un nombre suffisant de dérivées des fonctions inconnues. Dans le problème actuel, la réduction à un système de Pfaff peut s'effectuer très simplement. Considérons un système de r équations de Pfaff

wi = aiidjci 4- aiidxi + ... + aindxn = o {i =z i,2,...r);

une multiplicité intégrale de ce système sera aussi une multiplicité

LEÇONS SUR LE PROBLÈME DE l'FAFF.

intégrale d'une équation symb()li([ue <> ~ o de degré supérieur si, en remplaçant /• des différentielles dxi parleurs valeurs tirées des relations Mi =z O dans la forme i). = o, on arrive à une forme identiquement nulle. On obtient ainsi un certain nombre de relations entre les coefficients a//i- des formes w/ et les coefficients de la forme il. Ces relations j)ermettenl d'exprimer les o/A-au moyen des variables œ^, x.^, ..., Xn et d'un certain nofnbre d'indéterminées /i, ).2, ...,'>(/. En substituant dans les équations mï =o, on arrive à un système d'équations de Pfaff entre les // + q variables ,T"i, Xi, ...Xn, /i, î?, .. ., \, ces dernières variables ne figurant que dans les coefficients.

La métliode précédente donnera bien toutes les intégrales, car elle généralise la dernière méthode indiquée pour déterminer les multiplicités intégrales Mr.

Le résultat est particulièrement simple lorscjue la forme symbolique donnée est le produit de /) formes de Pfaff il =r mi^^ ... m^. Soit Mp une multiplicité intégrale à /* dimensions représentée par les équations

Xi = <fj{iu, ..., ur), {i — 1,9., ... n);

quand on rem])lace les variables xi et leurs différentielles par les fonctions çp( eld-jii dans les formes de Pfaff w,, wj, ... on obtient p formes de Pfaff IIj, lia, ..., n^, où ne figurent plus (|ue les variables ui et leurs différentielles. Pour que Mr soit une multiplicité intégrale de l'équation symbolique il = o, il faut et il suffit que le produit [I1II2 ... ll^soit identiquement nul, c'est-à-dire (no 24) qu'il y ait une relation linéaire entre ces /> formes, ).ini -(-...-!- /^.II^ = o. La multijjlicité Mr est donc une intégrale d'une é(juation de Pfaff de la forme

),ir,j, -f /gf,)2 -(- ... + l/)f>)p =Z O,

et la réciproque est évidente, car ou déduit de la relation précédente que le produit symbolique «1^2 ... ^p est identiquement nul. L'intégration de l'équation si/mbolique wjwg ... r,)p z= 0 se /'amène donc à l'intégration de l'équation de Pfaff

A]Wj + /2W2 -)-...+ )./jWp = o,

on entrent n -\- p — / inconnues, les variables Xi et les rapports Par exemple, l'intégration de l'équation symbolique (flfys — y-idy{){dy.i — ij,,dij^) = o se ramène à l'intégration de l'équation de Pfaff

dyi — Uidyx — l {dys — y^dy^) = o.