CHAPITRE III. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

qui est de forme canonique

dtjî — ulyi - (iji — ty^'.dyi = o.

Les intégrales M2 sont représentées par les formules

et par d'autres formules qu il serait facile d'écrire (n" 15).

Si les équations v, =: o, ..,«p=ro forment un système complètement inlégrable, ce système est équivalent à p équations d/i rr o, .... dj'p = o, et l'équation symbolique peut s'écrire df\dfi ... df^ := o. Toute solution s'obtient en établissant une relation au moins entre fi,fi, ••■,fp- L'équation de Pfaff correspondante tydfi -\- ... -{-\pdfpZ=:o conduit bien au même résultat.

On reviendra plus loin sur ce sujet (n" 32)

28. Les formes de degré n — 1. — Revenons au cas d'une forme w de degré n — i k n variables. Si l'on prend un nouveau système de variables indépendantes (y^, y,, ...,y„i, y„) tel que i/i, i/i, '■-, i/n-i soient n intéarrales indépendantes de l'équation tùdf=o, la dernière variable y „ restant quelconque et distincte des premières, w se chang-e en une nous'elle forme symbolique ci, divisible par dy^dy^ .,. dy,^^, et qui par conséquent ne contient qu'un

terme

T^ = Kdy^dyi ... dy^^^.

Si le facteur K ne dépend que dey^, y,, ..., y„j,etest indépendant de y„, on peut prendre 1 Kc(yj pour variable à la place de y^y et l'expression précédente devient

ni = dy,dy,^ ... dy,^i.

Lorsque le facteur K contient y,j, on peut prendre ce facteur K lui-même pour la dernière variable y,^. et l'on a alors

m=y„dy^dy, . . . dy,^^.

En résumé, foute /orme symbolique de degré n — i à n variables peut, par un choix convenable des variables indépendantes, être ramenée à F une des deux formes.

(I) dy^dy^ . . . dy^^, (II) yjy, . . . dy^,.

Il est aisé de savoir a priori quelle est celle des deux exprès-

sions qui convient à une forme donnée w. En effet, la forme réduite (I) a une dérivée nulle, tandis que la forme réduite (II) a pour dérivée dij^dy^ . . . dy^^. La forme w peut donc être ramenée à la forme réduite (/) lorsque sa dérivée est nulle, et à la forme {II) dans le cas contraire.

Considérons encore une forme a> de de^ré n — 2 à n variables. Si w n'est pas une différentielle totfiie symbolique, sa dérivée w' est une forme d'ordre n — i à n variables, et par conséquent on peut l'écrire, avec un choix convenable des variables indépendantes,

œ' = dy^^dy^ . . . dy^^.

Les deux formes w et y^dy^ ... dy ^^^ ayant la même forme dérivée, leur différence est la dérivée il' d'une forme a de deg'ré n — 3, et la forme w a pour expression

On remarquera l'analogie de cette expression avec la forme réduite d'une forme de Pfaff à trois variables.

29. Multiplicateurs d'une forme. — On peut aussi étendre aux formes symboliques la théorie du facteur intégrant. Soit w une forme symbolique de degré p ; une fonction [x des variables indépendantes a^^, x^, ..., x^ est un multiplicateur ou un facteur intégrant t^ouv iù si le produit [xw est une différentielle totale symbolique. Pour que a soit un facteur intégrant, il faut et il suffit que l'on ait identiquement

([XO))' = ILOi' 4- {d\l.)M=0.

En égalant à zéro les coefficients des différents termes de la forme ([xw)' développée, on a un système d'équations linéaires (mais non homogènes) par rapport aux dérivées partielles du premier ordre de la fonction 1 = log [x. Ces équations doivent être compatibles pour qu'il existe un facteur intégrant pour w. S'il en est ainsi, l'intégrale générale de ce système est de la forme

où ^1 est une intégrale particulière, F une fonction arbitraire et