CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

fit fi, •.',fq les y intégrales distinctes du système linéaire ethomog'ène que l'on obtient en supprimant les termes indépendants de À dans les équations qui déterminent 1. Mais, d'après la façon même dont on obtient ces équations, yj,/*^, ...,/y sont précisément des intéarrales du svstème que l'on obtient en écrivant que le produit symbolique wrf/" est identiquement nul.

S'il n'existe pas de fonction f satisfaisant à cette condition, la forme w admet au plus un facteur intégrant qui s'obtient par une quadrature. S'il y a une infinité de facteurs intégrants distincts, la forme o> est és^le à un produit symbolique

« = QdfdJ^ . . . d/ç,

et l'expression ^nérale des facteurs intégrants est

H- = H-iDC/i,/,, • . • . A)»

n désignant une fonction arbitraire. Le produit u-w peut s'écrire comme produit symbolique - »

aa> = ±(st,û)n(/„/„ ...,/ç)d/,df,... dfç;

or ^df^dfi ... dfq est une différentielle totale symbolique. Il faudra donc que le produit u.,a soit aussi une différentielle totale symbolique.

On voit que, dans le cas où w admet plusieurs facteurs intégrants distincts, l'équation w =z o admet des intégrales à ^ — i dimensions : si U.J et a, sont deux facteurs distincts, l'équation — =:= G

représente une famille d'intégrales de cette espèce.

Les formes pour lesquelles le facteur intégrant a le plus haut desfré de généralité possible sont les formes représentées symboliquement par un produit de différentielles totales tel que K<//i .. . c(/"p. il en est ainsi, en particulier, si /) = n — i, et l'on est ainsi amené à la théorie du dernier multiplicateur de Jacobi.

Soit comme plus haut

to = Ajrfj?2 ... dx^ -f- AjC/j?3 ... dx^dx^ + ... + A^c/jJj ... dx„i ; l'équation qui exprime que |i.w est une différentielle totale symbo-

lique est difîérente, suivant la parité de n. Si n est impair, cette condition est

et, si n est pair,

Dans le premier cas, [x est un multiplicateur pour le système d'équations différentielles dont l'intég-ration donne les intégrales de réquation tùdf^= o. Dans le second cas, tx est un multiplicateur pour le système

qui doit remplacer le précédent.

On voit immédiatement, d'après cela, que la connaissance de n — 2 intégrales de l'équation Mclf^:^ o et d'un multiplicateur permet d'achever l'intégration par une quadrature. Supposons en effet que l'on ait effectué un chang-ement de variables de façon que ^1' ^2' •••' ^M— 2 soient les n — 2 intég-rales connues; si [x est un multiplicateur, \uù est une différentielle totale symbolique qui, après le chang-ement de variables, prend la forme

Pour que la dérivée de \jm soit nulle, il est nécessaire que l'on ait

et en posant

on a aussi

lL(^=zdi/^ ...dy,^-^dz;

s est donc une nouvelle intégrale de l'équation o}df=-. o.

CBAPITRE 111 — FORMES SYMBOLIOIES DE DIFFÉRENTIELLES. 121

On peut obtenir la dernière intégrale sans aucun changement de variables. Le produit uw est en effet de la forme

a<u = d/i ... dfn 1 («ir/j?, + ... + a^dxri).,

les coefficients ai pouvant être calculés par identification. Puisque fiw est une forme dérivée, ^aidn est aussi une différentielle exacte (no 26).

On a étendu la définition du multiplicateur de Jacobi aux systèmes complètement intécrrables. Avec la théorie des formes svmboliques, cette extension est bien facile Soit

(27) w/ = Qiidx^^ -f- . . . + QindXn = O (? = 1 , 2, ... s)

un système complètement intég^rable de s équations, équivalent au système

(27)' d/i = o, df^=o, ..., dfs= o,

fufii • ■ --fs étant s fonctions distinctes. On a

o>/ = )./irf/\ + ... 4- \sdft,

le déterminant A des coefficients a/^- étant diÉFérent de zéro. Considérons le produit symbolique

toute fonction u. des variables (x^, . . , , o;,,) telle que u.a soit une différentielle totale symbolique est un multiplicateur du système (27). D'après ce qui a été démontré plus haut, il existe une infinité de multiplicateui*s, dont il est facile d'avoir l'expression générale. Imaginons en effet que l'on ait effectué un changement de variables de façon que 5 des nouvelles variables y^, y,, ■•', l/s soient précisément les intégralesyj.y,, ...,fs du système. Le produit symbolique Q. devient Ac(y, . . . dys., et l'on a

;jii = 'J-^dyi . . . dys.

Pour que (uLfî)'soit identiquement nul, il sui^tque jiA ne dépende que de yi, ..., ys. Le quotient de deux multiplicateurs distincts est toujours une intégrale du système (27).

La connaissance d'un multiplicateur est de la même utilité que pour un système d'équations différentielles. Si l'on connaît s — i

intégrales premières y"^,y2) •••■,fs—\ et un multiplicateur ;;., on a encore une relation de la forme

[xii = dfidf^ . . . dfs-\ \ 2^ ciidxi >,

les coefficients ai se calculant par identification. Pour que ([J-ii)' soit nul, il faut que l'on ait

et on aura une nouvelle intég-rale par une quadrature

lidxi.