CHAPITRE I. — FORMES CA.NO.MQLES

venable, ramener une /orme de Pfaff w à n variables à Fune des trois formes

(I) yn{y^dy^^-...+\'n-ldyn-i),

(II) ^'i^yi + •• -f Y„,rfy„, + dyny

(III) - Y,r/yi + ... +Y/,-.^yn-i,

Yj, ..., Yn i we dépendant que de y y, y^, ..., yn-i-

On a écrit y^ au lieu de e^" dans le cas de la forme (I), ce qui revient à changer la dernière variable ; remarquons aussi que quelques-uns des coefficients Yj, ..., Yn, peuvent être nuls.

Appliquons ce résultat aux cas les plus simples : « ^ 2. n =.3.

Soit w = Xirfj^i -j- XidjC'* ; on a ici A := (oij)* =: ( — -^ ^-^ I . Si

«lî^ o, on sait que w est une différentielle exacte dyi. Si an nest pas nul, le système auxiliaire (i4) est

c'est-à-dire l'équation w =: o elle-même. Si yi =:C est l'intégrale générale, la forme &» peut donc s'écrire yadyx, comme il est bien connu.

Soit <w ^Xirfa?i + X^djCi -\- X^djCf On a dans ce cas A := 0, et le système ■ i4)' est ici

aiidxî -\- Oiîrfj-j =: o, ando'i -— fiadoc^ = o, a^idxi -^ Oi^djCi =^ o. Si an =r flîî = O31 := o, &» est une différentielle exacte dyi. Si ces trois coefficients ne sont pas nuls, on tire des équations précédentes

. ^, djci djci djCt

(lO. — — .

Oîî Oj, a,.

Supposons d'abord que X,023 + XjQj, -J- Xjau ne soit pas nul; on peut satisfaire aux équations du système (i5)' et à l'équation

X ^'^' -4- X- ^^- — X ^^^ — I ' ^ dy^ ' ' dy, ' ^ dy^ ~ ''

Soient Xi = ?iiyi- ya- ys) l'intégrale générale de ce système: on a vu que, par ce cbangement de variables, w prend la forme

Yirfyi -1- Ysrfyj + dy„

Yi et Yï ne dépendant que de yi, y^; Y,(/yi J- Y^dy» ne peut être une différentielle exacte, sans quoi on aurait a^ = 0*3= 031 = o. Donc, par un nouveau changement de variable, w prendra la forme Stdsi -|- dyz.

14 LEÇONS SLR LE PROBLÈME DE PFAFF.

Si l'on a Xi^ss + X^a^i + X^oa =: o, w sera réductible à la forme y^di/i, résultat classique.

De la proposition précédente on déduit sans peine, comme l'a montré G. Darboux (*), le théorème fondamental suivant :

Toute forme de Pfaff w peut être ramenée à lune des deux formes suivantes :

(a) z.dij, + ... + z^dy^ + dij ^^^,

(1^) Zidy, -f ... + z^dyj,,

où les fonctions yi, Zh constituent un système de variables indépendantes, c' est-à-dire de fonctions indépendantes des variables qui figurent dans (ù.

La proposition est immédiate pour une forme à deux variables, et nous venons de la vérifier pour une foi^me à trois variables. Il suffit donc de démontrer que, si elle est vraie pour une forme an — I variables, elle subsiste pour une forme à n variables. La forme w étant ramenée à un des trois types (I), (II), (III), il est inutile de considérer le type (III) qui ne dépend que de n — i variables et pour lequel le théorème est admis. Quand aux types (I) et (II), on peut y remplacer la forme k n — i variables

^idi/i + ••• 4- Yn-idyn-i

par un des types (a) ou (P). On obtient ainsi pour la forme w une des quatre expressions suivantes :

yn{a^dv^ 4- ••• + ^^pdv^ + dv^^^)

yn{u^dv^ + ... + u^dv^),

u^^dv^ + ... + Uj,dv^ 4- dyn,

u^dv^ + ... + Updvp + dVp^,^ + dyn,

les variables Ui, Vk étant des fonctions indépendantes des variables i^^, ..., yn-i- Les deux dernières expressions sont immédiatement mises sous la forme (a), en écrivant dans la dernière d{yn + Wp+i) au lieu de dv^^^ 4- dyn. La première peut s'écrire

w^dv^ 4- .-. 4- Wj^dVp 4- i^p+idvp+i,

(') Sur le Problème de Pfaff. Bulletin des Sciences mathématiques, 2« série, t. VI, 1882, p. 26.