Intégrale intermédiaire d'une équation symbolique

Toute multiplicité intégrale Mr d'une équation symbolique oi = o d'ordre p est aussi une intégrale de l'équation m' =: o. La proposition est évidente si /• = />, puisque toute multiplicité d'ordre /> est une intég-rale d'une équation symbolique d'ordre/) + i- Si on a /' >/;, l'intégrale J"m', étendue à une multiplicité quelconque d'ordre/) + i, appartenant à la multiplicité Mr, est égale, d'après le théorème de Stokes g-énéralisé, à l'intégrale J^m, étendue à la multiplicité M^, qui limite Mp+i ; cette multiplicité Mp appartient elle-même à la multiplicité Mr, et par conséquent l'intégrale J'm, étendue à Mp, est nulle, puisque Mr est une intégrale de l'équation w ^ o.

Réciproquement, soit Mr une intég-rale à r dimensions de l'équation symbolique w' = o, de degré/) + i. L'intégrale J'w' étendue à une multiplicité quelconque Mp-\-i, appartenant à Mr, est nuUe^ et par suite l'intégrale Cm, étendue à une multiplicité ye/'mee quelconque M^ située surMr, est nulle aussi. Supposons la multiplicité Mr représentée par les équations

Xr+i =fr+l{Xi, ..., Xr), ..., Xn= fn{Xi, X^, ..., Xr) ',

si on remplace dans w les variables Xr+u ..., ocn et leurs différentielles par fr+i, . . ., fn, dfr-\-i, . . ., dfn respectivement, on obtient une forme symbolique wi de degré/) où figurent seulement/* variables OJi, ...,Xret leurs différentielles, et l'intégrale f^i étendue à une multiplicité fermée quelconque à p dimensions de l'espace à /• dimensions {xi, . . . , Xr) doit être nulle, de sorte que l'intégrale Jm^ étendue à une multiplicité quelconque à /) + i dimensions du même espace doit être nulle, ce qui