CHAPITRE m. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

exige que l'on ait «/ :=. o, ou '>>^ ^=. (wâ)', «a étant une forme symbolique de degré/) — i à /■ variables Xu X\, ..., Xr. La multiplicité Mr est donc une intégrale d'une équation de la forme

n étant une forme symbolique de degré /> — i, et inversement, quelle que soit cette forme n, toute intégrale de l'équation (28) est aussi une intégrale de l'équation w' = o. Nous dirons que l'équation (28), où figure une forme arbitraire, est une intégrale intermédiaire de l'équation w' ■=z o. L'analogie avec la théorie des équations aux dérivées partielles est évidente. Pour qu'une équation symbolique admette une intégrale intermédiaire, il suffit qu'il existe un multiplicateur pour le premier membre

Remarque. — Le raisonnement semble être en défaut si r =z p, car toute multiplicité d'ordre /) est une intégrale de l'équation w' =0, mais le théorème est encore exact. Soit Mp la multiplicité définie par les équations

J'p+i = y/>-|-i(a"i, ...,a*p), ..., Xn = »n(j?i,a.'2, ...,xp);

si on remplace dans &> les variables a?/>-i-i, .... Xn etleurs différentielles par les fonctions op-fi . .., fn^t rf»p-(-i, . . ., dran, il vient

w =:/{xi, ... Xp)dxidx2 ... dXp.

Soient F (Xi, . . ., Xp) une fonction telle que =z f, el U la forme de

degré p — i

fl =: FdXi . . . dxp ',

la multiplicité Mp considérée est bien une intégrale de l'équation M = n'.

Dans le cas particulier où la forme dérivée 0/ est du second ordre, w est une forme de PfaÉF, et l'intégration de l'équation symbolique w' ^ o est ramenée à l'intégration de l'équation de Pfaff

w = dxn-{-U

à. n -{- i variables a?j, x^, . . ., Xn+l .

Prenons par exemple l'équation symbolique (')

dxidx% — dxsdx^ := o ;

{'■) On est conduit à cette équation, quand on cherche toutes les transformations ponctuelles d'uu plan qui conservent les aires [Bulletin des Sciences Mathématiques, 2* série, t. 4^j ^9^7)- J'^i montré dans cet article comment on peut trouver toutes les solutions de l'équation plus générale

dyidi/i . . . dyn =: dxidx^ . . . dxn-

124 LEÇOiNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.

elle admet l'intégrale intermédiaire

Xidx<i -\- .T^dxs = dœ!^.

Si X2 et œs sont dfes variables indépendantes, la solution générale est donnée par les deux relations

x,=^, x,=^, f{x=i, x^ étant une fonction arbitraire de x^ et de x^.