Application aux systèmes canoniques. — Soit

/ N dxi &H diii DH , • >

dt Tyiji dt dxi

un système canonique, où H est une fonction des 2« variables œ\ i/k,

/» n et de t. H, Poincaré (') a démontré que / 2. dxidiji est pour ce sys-

tème un invariant intégral.

Considérons les intégrales

(3o) Xi z=z fi{a\, . . ., an\ f)i, . . .,bn; t), i/i = (i>i{ai, . . . , bn; t)

qui, ])our / = /y, prennent les valeurs ai, hi respectivement.

Lorsque le point de coordonnées («/, bi) décrit une multiplicité Mq à deux dimensions dans l'espace à 2/i dimensions, le point {xi, yi) décrit lui-même une multiplicité M< à deux dimensions dans ce même espace, et les deux intégrales multiples

f \^ dxidgi, l \^ da/dbi

sont égales, quel que soit t. En d'autres termes les fonctions /;, y/ satisfont, (|uel (jue soit t, à l'équation symbolique

(3i) 2. dxidjji — 2, daidbi = o,

([ui peut être remplacée par l'intégrale intermédiaire

(82) 2j yitixi + 2, (^i^^'i = '^^'^•

(i) H. Poincaré, Les méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste, t. III, p. l^?>.