CHAPITRE III. FORMES SYMBOLlyUES DE DIFFÉRENTIELLES

Les 2« variables ,Xi, bk sont indépendantes, puis({ue, pour / ^ /o» X\, . . ., Xn se réduisent respectivement à «i, ..., «„, et les valeurs initiales ai, bh peuvent être choisies arbitrairement. Il ne j>eut donc y avoir aucune relation linéaire entre les différentielles dxi, clbi, et par suite les fonctions cherchées yi, a>i, vérifient des relations de la forme

(33) iji=-—, ai = ^ (i = i, 2, ... h),

:>jci ^bi

Vêtant une fonction des 2/1 variables œi, bh et de /. D'après les condL tions initiales, cette fonction V doit se réduire à 6ja?| -»- biJCî -l-...-j-6„a?„ pour / = /q, pour que les fonctions a?/, i/i définies par les relations (33) se réduisent respectivement aux valeurs données pour / = i^. De plus, ces fonctions doivent être des intégrales du système canonique (29). On obtient ainsi les conditions

3a-i ^ îsxiisj'k ?yA- ^-Tiist

que l'on peut écrire

. 3V J?l, ..., Xn

3aî,

^^.. jS

Il s'ensuit que h H ( X\, ..., ,r„ ; , ..., - — , / | ne peut dépendre

que de la variable t, et des paramètres a,, . .,<?,, Or on ne chansre pas les équations (33) en ajoutant à V une fonction quelconque de a,, ..., a„, t. On peut donc supposer que l'expression précédente est nulle, et la conclusion est la suivante:

Les intégrales du système canonique (2g} qui prennent les valeurs initiales ai, bi, pour t =: /o, sont données par les équations (33). où Mxi, . . • a?« ," 6,, b-i, ..., bn, t) est une intégrale de l'équation aux dérivées partielles

»/ \ JoT, ^X,i /

qui, pour t =1 1^, se réduit à biXi -f- . . . + baX^-

Ce résultat est identique à celui que l'on déduit de la première méthode de Jacobi (Leçons, n^ 5oj.

32. Rang d'une forme symbolique. — Soit il = 7 A„ „ „ dx„ dx^^ . . . dx^,

une forme quelconque de degré p k n variables. Prenons une permutation quelconque de /) — i des indices (a^, ag, . . ., ocy,i), et écrivons l'ensemble des termes de a où fig'ure le produit symbolique dx^^dx^^^ . . . dx^^^^,

V A„ „ „ .idx„ dx^, . . . dx ,dxi.

Si nous supprimons le produit t/ic^ ...dx^ dans chaque terme, il reste une forme de Pfaff

En opérant ainsi avec toutes les combinaisons des n indices/) — i kp — I, on obtient un système de formes de Pfaff, que nous dirons associées à la forme w, et en égalant toutes ces formes à zéro, on obtient un système S d'équations de Pfaff que j'appellerai pour abréger le système associé à la /orme w.

Pour trouver la signification de ce système, nous démontrerons d'abord le lemme suivant.

Lemme. — Soient w^, «2, .,., w^ des formes de Pfaff linéairement distinctes. Si on développe le produit symbolique w^oi^ ... w toutes les formes de Pfaff associées à cette forme symbolique sont des combinaisons linéaires de Wj, w^, ..., w .

Il suffit évidemment de prouver que le coefficient de dx^dx^... dXp^, par exemple, s'exprime uniquement au moyen de w^, C02, . . ., M^. Soit

w/ = Uii^dx^ + ai^dx^ + . . . 4- aindxn, (i = i, 2, ...,/)); si l'on prend chacun des facteurs dx^, dx2, . . ., dx^-^, dans l'un