CHAPITRE m. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES
des facteurs w^, . . . , à la forme de Pfaff
"p i,le coefficient de ctTjÉteg ... dx i esterai
, — «pi'^'^?! ... — a^,^Xj^ j .
J>— 1. 1 "p-t. 2 ••• "p— ip— 1
En opérant de même avec tous les autres produits symboliques qui renferment rfj?, . . . dx^^^, on voit que le coefficient de ce produit symbolique est ég'al à une combinaison linéaire des formes Wj, wj, . . ., tjy, diminuée du déterminant
a^^^dx^ -f .
+ «Lp-i^O-p-i
qui est identiquement nul, comme somme de déterminants ayant deux colonnes identiques.
Cela posé, supposons que la forme donnée il puisse s'exprimer symboliquement aiî moyen de /"formes de Pfaff w^, w». .... Ur linéairement distinctes (/> -^ ^ '^ n).
n= Va.
Xp «1 «2 «p'
les coefficients A,
étant des fonctions quelconques des
variables x^, x^, ..., x^; d'après le lemme précédent, toutes les formes de Pfaff associées à la forme n s'exprimeront linéairement au moyen de w^, a>2, . . ., wr. et par conséquent le système associé S comprend au plus r équations distinctes.
Réciproquement, supposons que le système S contienne r équations distinctes et r seulement, de telle sorte que toutes les formes de Pfaff associées à li soient des combinaisons linéaires de r formes de Pfaff linéairement distinctes wi, wj, ....w^. Admettons, pour fixer les idées, que le déterminant des coefficients de dx^, dx%i ..., dxr dans ces formes est différent de zéro ; les n formes
fc)j, w^, . . ., Wr, Wr+l = dXr+ii .■■t'^n = dXn
sont alors linéairement distinctes, et la forme symbolique Q. peut s'exprimer au moyen de celles-là (n" 25 p. 99)
Soient aj, a^, . . ., aj,^ un système quelconque de p — i indices diflerents ; par hypothèse, la forme associée correspondante s'exprime au moyen des r formes w^, Wg, . . ., ov- Ceci ne peut avoir lieu que si les fonnesoy r^-{, ■••■, <>hi ne figurent pas dans l' expression de il. En effet, mettons à [)art dans il la forme Li^^dx,^, où fig-ure dx^, et soit iij ^^ différence il — iiidx^ qui s'exprime au moyen de Wj, .,.,w^j j. Les indices^ a,, ol^, . . . , a^i étant supposés inférieurs à n, la portion de w„ „ „ , qui provient de il,
s'exprime au moyen des formes w^, ... w„i, tandis que la partie qui provient de ii^^a?,^ est ég-al au produit de dx^ par le coefficient
àe dx,, dx„ dans il, . La forme oj „ , renfermera donc
un terme en dx„ à moins que le coefficientde</.r ...dx dans il,
soit nul. Ceci ne peut avoir lieu pour toutes les combinaisons des n — I indices 1,2, ..., n — \,p — i kp — i à moins que la forme fi^ ne soit identiquement nulle, c'est-à-dire à moins que w^ ne figure pas dans l'expression de il. On verrait de la même façon que les formes w^^-i, . . . , w„i ne peuvent figurer dans il si toutes les formes de Pf'aff associées sont des combinaisons linéaires de wj, wa^ • • -, ^r-
En rapprochant ces deux résultats, on voit que lorsque les équations du système S se réduisent à /• équations distinctes
Wj = 0,6^2 = 0, ... w,. = o,
la forme symbolique il peut s'exprimer symboliquement au moyen des r formes linéairement distinctes wj, wg, . . . , a)/« (i). Elle ne peut s'exprimer au moyen de moins de r formes linéaires distinctes, puisque dans ce cas les équations du système associé se réduiraient à moins de r équations distinctes. Nous dirons pour abréger que
(') Ce théorème peut être consjdcré comme l'extension aux formes symboliques d'un théorème d'als^èbre, relatif aux formes algébriques ordinaires.
Pour qu'une forme algébrique F (x^, x^, ...,Xn) de degré p à n variables puisse s'exprimer au moyen de r formes du premier degré linéairement distinctes, il faut et il suffit que toutes les dérivées partielles d'ordre p — i de la forme F se réduisent à r formes linéairement distinctes .
