CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

la forme symbolique est de rang r. On peut d'ailleurs remplacer Wj, w,? • • • > wr par r combinaisons linéaires distinctes de ces formes.

Il est évident que ce nombre r est un invariant, relativement à tout changement de variables. Le système S est de même un système covariant. Supposons en effet que la forme ii s'exprime symboliquement au moyen de /* foi*mes de Pfaff linéairement distinctes cji, (i>2, a>3, ..., w,., et ne puisse s'exprimer au moyeu de moins de r formes de^Pfaff. Le système S est alors équivalent aux r équations ûj, = o. Si, par un changement de variables xi = '^1(1/^, ■■., yn), les formes W), ..,, wr se changent en r formes de Pfaff FI^, ..., II;., la forme fi elle-même se change en une nouvelle forme symbolique qui s'exprimera au moyen des formes n^, II,, . . ., n^., et les équations du système associé à la nouvelle forme sont des combinaisons linéaires des /* équations II,= o. D'ailleurs ces équations ne peuvent se réduire à moins de réquations distinctes, caria forme fi pourrait alors s'exprimer au moyen de moins de r formes de Pfaff. Les équations du système S se transforment donc, par un changement de variables, en un nouveau système d'équations de Pfaff qui est précisément le système associé à la forme transformée.

Le rang r d'une forme de degré p k n variables est au moins égal k p et au plus égal à n. Si les coefficients de la forme il sont quelconques, on a r 1= «. Le rang est égal k p si la forme considérée est le produit symbolique de/> formes de Pfaft'et dans ce cas seulement, ce qui fournit un moyen de reconnaître si une forme de degré p est décomposable en un produit de p formes de Pfaff. Pour une forme de Pfaff" w, le système associé se réduit à l'équation a> =3 o elle-même et le rang est égal à un.

Remarque. — Si une forme n k n variables s'exprime au moyen de n — V formes de Pfafl" distinctes, on ne peut en conclure immédiatement que la forme est de rang n — v. On peut seulement affirmer que le rang est au plus égal k n — v, car les équations de S contiennent au plus n — v équations distinctes.

Applications. — i» Etant donnée une forme il de degré supérieur à un, on ne peut pas toujours, par un changement de variables, la ramener à une forme où figurent moins de n différentielles. G. Prob. 9

En eflet, si dx^^ par exemple ne figure pas dans il, le rang est au plus égal an — i , puisque il s'exprime au moyen de n — i formes de Pfaff seulement, dxi, . . . , dx^__^^.

Cette condition est suffisante . Soit en eflet n une forme de rang r <<! n, qui s'exprime au mojen de r formes linéairement distinctes o)^, Wg, . . . , w,.. Ainsi qu'on l'a déjà démontré à plusieurs reprises, nous pouvons choisir un nouveau système de variables y^, ..., y^, tel que les équations

représentent une famille d'intégrales Mj à une dimension des r équations w; = o. Les formes m^, w^, . . . , w^ s'expriment donc au moyen des différentielles f/?/i, . . ., dy^^ seulement, et la forme ii elle-même ne renfermera pas dg^.

20 Pour une forme symbolique du second degré n = / Kjkdxjdxh, le système associé S se compose des n équations

(35) khdxi + khdXi + ... + kindxn = o, (i = i, 2, ..., n)

dont le déterminant est un déterminant symétrique gauche. Ces équations se réduisent donc à un nombre pair d'équations distinctes, et par conséquent le rang d'une forme symbolique du second ordre est toujours un nombre pair. Une forme de cette espèce peut être ramenée à une forme simple qui rappelle la forme canonique d'un covariant bilinéaire. En effet toute forme du second degré de rang 2f) pe t s'écrire comme il suit

(36) il = wjwa + '•«'3^4 + • . • '^^p^^^p'

wi, W2. •••} <« étant 2p formes de Pfaff linéairement distinctes, La pro-

priété est évidente si p = i . Pour démontrer qu'elle est générale, il suffit de vérifier que, si elle est vraie pour une forme de rang zp — 2, elle est vraie pour une forme de rang 2/3 . Si il est une forme de rang 2p, on a

£l = Mi (yAiftwAJ+ VB,A-wjwfe, {i.,k=2, 3, ...,2p)

wi, W2, ..., w étant 2p formes de Pfaff distinctes. La forme ^^BikMjMh est r