CHAPITRE III. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉREMIELLES

de rane: inférieur à zp ; comme elle est de rang pair, elle est au plus de rang 2 0 — 2. Elle ne peut être de rang inférieur à 20— 2, car il serait de ransr inférieur à 20. La propriété étant admise pour une forme de rang 20 — 2, il s'ensuit qu'elle est vraie pour une forme de rang 2a.

La démonstration prouve d'ailleurs que £1 peut être mise sous la forme (36) d'une inhnité de manières.

Si le déterminant de Pfaff relatif aux équations (35) est nul, la forme il est de ranc inférieur à n, et on peut la ramener à une forme où ne figurent que 11 — i différentielles. C'est ce qui a toujours lieu si n est impair. Si n := 4> et si ce déterminant est nul, on a /■ = 2, et la forme £1 est le produit de deux formes de Pfaff wjwa, comme on l'a déjà démontré (no 25).

30 Reprenons une forme il à n variables et de rang /• inférieur à n. Si l'on a choisi les variables t/i, 1/2, ..., y m de façon que les formes de Pfaff wj, 0)2, .. , wr ne renferment pas di/n- il en sera de même de £1, et toute multiplicité Mp à p dimensions définie par n — p relations de la forme

/i(yi. ...,y«-i) = Cl, ...,//j-p(yi, ..., yn-i) = Cn-p,

où ne figurent que les n — i variables t/i, y*, ..., yn-\ est une multiplicité intégrale de l'équation 11 = o, car le produit £l^//i ... d/n—p-, qui est de degré n et ne renferme que « — i différentielles, est identiquement nul. Ces intégrales s'obtiennent en associant suivant une loi arbitraire les intégrales Mj à une dimension, représentées par les équations yi z=. Ci {i ^ 1,2, . . ., n — i), du système de Pfaff

ai| =: o, 'dj :^ O, . . . , «r ^ O.

Plus généralement, supposons que le système précédent admette une famille d'inté^-rales My à q dimensions, telle qu'il passe une de ces intégrales par un point arbitraire. On peut alors choisir un système de variables y,, ...,y,i, tel que les différentielles rfyn—^-j-l, •.., dynoe fisrurent pas dans les formes «/, et ces intégrales Mç sont définies par les n — q équations

yi = Cl, . . ., yn—ç := Cn—q-

Les différentielles f/yn—y+l, ..., dyn ne figurent pas non plus dans la forme il, et le produit HdJ^i ... dfn+i—p—q est identiquement nul, quelles que soient les fonctions fi,/*, •■., fn+l—p-q des n — q variables yi. .. , yn—q On obtient ainsi des intégrales à p -\- q — i dimensions de l'équation symbolique £1 = 0, engendrées par les multiplicités My associées suivant une loi arbitraire.

4*> Les raisonnements de ce paragraphe prouvent qu'une forme symbolique qui s'exprime au moyen des r formes de Pfaff

"=2^SiS, ...s,"^i-«p.

132 LEÇONS SUR LK PROBLÈME DE l'PAFF.

ne peut être identiquement nulle s'il n'existe pas une relation linéaire au moins entre ces /■ formes. Toute intégrale de l'équation symbolique il == o satisfait donc à une ou })lusieurs relations de la forme

/,/&)] -(- ),2/'»2 + • • • + >ri''ir := 0 («' =: 1,2, ... q).

En écrivant que la relation il ^ o est une conséquence des équations précédentes, on obtient un «ertain nombre de conditions entre les coefficients C^ p et les coefficients /a/, qui permettent d'exprimer

tous ces coefficients au moyen dos variables X\, ..., j"„, et d'un certain nombre de paramètres arbitraires iii, ..., ils. On est ainsi conduit à un système d'équations de Pfaff à a -^ s inconnues a,"i, ..., ^t^, «i, ..., ««.

33. Classe d'une forme dérivée. — Les formes de Pfaff Wj, Wg, . . . , Wr au moyen desquelles s'exprime une forme symbolique i\ de degré supérieur pouvant être quelconques, il est clair que le système S associé à une forme il n'est pas en g-énéral complètement intégrable". Mais le système associé à une forme dérivée est toujours complètement intégrable.

On le vérifie immédiatement pour une forme dérivée du second deg-ré qui, d'après la théorie d'une forme de Pfafl", peut être ramenée à la forme canonique

dx^dx^ + • • . + dxir—idx=ir ;

le système associé se compose des ar équations dxiz=. o.

Pour ne pas compliquer l'écriture, nous démontrerons la proposition pour une forme dérivée du 3" ordre ; la méthode est d'ailleurs générale (^).

Soit £i' une différentielle totale symbolique du troisième ordre

(87) il' = ^ kikidxidxhdxi ;

le système associé S' se compose des équations de Pfafï'

(38) 2 ^ikidxi =0 (/, /;:= I, 2, ..., n).

Nous voulons établir que, si ce système se compose de r équa- (') Annales de la Faculté de Toulouse, t. VII, iqi5, p. 20 et suivantes.