CHAPITRE 111. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

lions linéairement distinctes, il est équivalent à un système de r équations

dfi, = o, df^= o, ..., dfr =^ o,

y*!, /i, . . . ,fr étant r fonctions indépendantes de o*,, x^, . . . , x^.

La démonstration est tout à fait analog'ue à celle qui a été développée au no 5, pour le système S,, qui n'est au fond que le système S' correspondant à la forme dérivée w' dune forme de Pfaff. La propriété que l'on veut établir est encore évidente si le système S' contient n ou n — i équations distinctes. 11 suffit donc d'examiner le cas où ce système S' contient seulement r équations distinctes {r <^n — i). On peut alors adjoindre à ce système n — r — i équations de Pfaff

Ai^dxi + . . . -I- Aindxn = o, (i z= j, 2, ..., n — r — i),

dont les coefficients peuvent être choisis arbitrairement, à condition de former avec S' un système de n — i équations linéairement distinctes. Le système ainsi obtenu admettant n — i intégrales premières, supposons que l'on ait choisi un nouveau système de variables {y^, y^, ..., y„) de façon que ce système admette les combinaisons intésrrables dyi = o, ..., dy,.^y = o. Après ce changement de variables, la forme il' se change en une nouvelle forme

o' = ]^ Bibidyidykdyi,

qui est aussi une différentielle totale symbolique, et le système S' devient, par le même changement de variables,

2^ Bikidyi = o {i, k= 1,2, .,., n).

Ce système doit être vérifié identiquement quand on y fait dy^ = o, ..., dy,^^ = o ; tous les coefficients B,A-n sont donc nuls, quels que soient les indices / et k. D'autre part, puisque la forme il' est une différentielle totale symbolique, on a les relations

?B,A7 ?BA-/n , r^Bini 3B;,/A-

:syn Tyyi Zyk ^yi

qui deviennent ici — - — = o, puisque Ba-m = 6,7,2 = B,a„ = o. ^yn

Après le chang-ement de variables, la forme ii' et le système S' ne renferment donc ni y^, ni dy^^. On a donc, par ce chang-ement de variables, ramené le système S' à un système de r équations an — i variables.

Si r =^ n — 2, le théorème énoncé est établi. Si r <^ n — 2, on remarquera que le nouveau système S' est associé à une forme dérivée il' k n — i variables. On peut donc, par un nouveau chang-ement de variables, le ramener à un système équivalent de r équations an — 2 variables, et ainsi de suite. On finira donc par le ramener à un système de r équations à r + i variables, c'est-à-dire à un système complètement intég-rable.

Voici une conséquence importante de ce théorème. Le système S' étant complètement intégrable est équivalent à un système de r équations

dfi=o, df^ = o, ..., dfr = o;

nous prendrons un nouveau système de variables [y^, y^, ..., y^), où y^ =fif •• • -, IJr =^fr- Avec ce nouveau système de variables, la forme Ii' devient

(39) fi' = 2 Biiddyidykdyi,

et le système associé S' doit être vérifié identiquement quand on y fait dy^^ = 0, . . ., dyri quels que soient dyr-\-i, . . ., dyn- H faut pour cela que tous les coefficients Qihh où l'un des indices est supérieur à r, soient nuls, et on en déduira, comme plus haut, que les autres coefficients sont indépendants de yr+i. • • • , yn- Dans la nouvelle expression de il' ne Jiyurent donc que les r variables y^, . . .,yr et leurs différentielles dy^, . . . , dyr.

Quelles que soient les variables choisies, on ne peut trouver pour n' une expression où fig-urent moins de r variables (soit dans les coefficients, soit sous le signe d). En effet, si l'on pouvait mettre li' sous une forme

n' = ^ dhidzidzkdzi,

OÙ ne fig-urent que r — s variables Zi, z^, . . ., Zr—s et leurs diffé-