CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

rentielles, dans les équations du système associé ne figureraient que r — s différentielles (ls^, . . . , dzr—s, et par suite ce système ne pourrait renfermer r équations linéairement distinctes.

Ceci permet d'étendre la notion de classe à une forme symbolique de degré quelconque. On appelle ainsi le nombre minimum" de variables au moyen desquelles on puisse exprimer cette forme par un choix convenable des variables, ces nouvelles variables fig-urant soit dans les coefficients, soit sous le signe d. Le résultat qui vient d'être démontré prouve que la classe d une forme dérivée est égale au rang de cette forme.

Nous dirons qu'une forme de classe r est ramenée à une forme réduite lorsque dans son expression ne figurent que r variables et leurs différentielles. Il y a évidemment une infinité de manières de ramener une forme dérivée à une forme réduite, mais toutes ces formes se déduisent l'une de l'autre par un changement de variables portant sur les r variables qui y figurent. Soient en effet

^^ihidyidyhdyi, ^Cmdzidzhdzi {i,k, 1= i, 2, ... r)

deux expressions réduites d'une même forme dérivée. Le système associé S' peut être écrit sous l'une ou l'autre des deux formes

(dy^ = o, ...,dyr = o) [^dz^ = o. ..., dzr = o).

Il s'ensuit que les équations yi^= C/, ou 5/ i=C', (/= i, 2, ..., r) représentent l'intégrale générale d'un même système complètement intégrable de r équations. On a donc des relations yi= Y/f-^i» •••> ^r), et l'on passe d'une des formes réduites à l'autre par un changement de variables.

Les variables qui figurent dans une forme réduite de û! constituent donc un système d'intégrales du système associé S'. Si l'on peut ramener n' à une forme réduite, on a par là même intégré le système S' .

34. Classe d'une forme quelconque. — La classe d'une forme symbolique quelconque se définit comme la classe d'une forme dérivée. Il est clair que, quand on passe d'une forme li à sa dérivée 9.', on n'introduit aucune variable nouvelle qui ne figure

pas dans il ; la classe ne peut donc aiig-menter. Par suite, si lY est de classe r, iiest au moins de classe r, mais elle peut être déclasse supérieure à r. Supposons la l'orme li' de classe r mise sous une forme réiluite où lîg-urent seulement r variables et leurs différentielles ; on peut par des quadratures (n" 26) déterminer une forme 'ij ayant pour dérivée il' et où ne fîg-urent que les mêmes variables qui iig-urent dans il'. Celte forme ii^ est donc de classe r, et la différence il — <i] est une différentielle totale symbolique qui peut dépendre d'un nombre quelconque de variables ne fig-urant pas dans o! . Si Li n'est pas une forme de Pfaft', sa classe peut donc être un nombre quelconque supérieur à r.

Pour déterminer la classe d'une forme de deg-ré supérieur, prenons par exemple une forme du second degré, qui ne soit pas une forme dérivée (4o) a = 2^ kikdxidxh ;

/, h le raisonnement est d'ailleurs g-énéral. Soit ii^ la forme auxiliaire

(40 Ll,= ë^"+'ÇI = 6^"+' (y^AikdxidxX

où Xn+\ est une nouvelle variable indépendante, qui restera la même dans tous les chang-ements de variables portant uniquement sur les n variables a?^, x^^ . . ., x,^. La forme dérivée a\ a pour expression

(42) il', = e'^"'^^Q! + e"^"+Va)«+iii

__ g*«+i K ^ x^iudxidxhdxi + 2u ^ihdxidxkdxn+\i ,

Le système S'i associé à la forme ii'i se compose de deux g^roupes d'équations

(43) 2a Aikdxk = o, (/ = 1 , 2, . . . , n)

(44) 2^Aihidx/ -f Aikdxn+i =o, (i, k= 1, 2, ...,n).