CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉREMIELLES

Ce svstcme S\ est complètement intéairable, d'après la proposition o-énérale du paragraphe précédent. C'est aussi un système covariant de la forme Q, relativement à tout chaa£;«meat de variables portant uniquement sur les variables o'j, x,, . . ., œ^.

Si Ton adjointaux équations du système S\ l'équation dXn+\ = o, on obtient un nouveau système complètement intégrable qui, abstraction faite de la dernière équation (la seule qui contienne da^n-i-i), se compose des deux g-roupes d'équations

(45) 2^ Aikffrk = 0. y^ Xihidxi = o, (i\k'= i , 2, ..., n).

Ce système S + S' s'obtient donc en prenant toutes les équations des deux systèmes S et S'. Il est évident, d'après cela, que c'est un système, covariant de la forme £i, et il serait facile de démontrer directement qu'il est complètement intég-rable, par un raisonnement tout pareil à celui du numéro précédent.

Si le système S -\- S' se compose de q équations linéairement distinctes, la forme il est de classe q.

Soit en effet d/i = 0, . . ., d/q = «i^un système de q intésrrales premières distinctes de S + S'. Si l'on prend un nouveau système de variables (j/i, ..., y„) telles que ^j ^ y^, . . ., yç z=J'ç, la forme il se chansce en une nouvelle forme

i^- = y^ Bikdyidyk.

et le système S -j- S' correspondant à cette forme doit se composer des q équations dy^ = 0, . . . , dyq = o. Tous les coefficients B,*, B/A/, où l'un des indices est supérieur à q, doivent donc être nuls. Il s'ensuit que les difiFéreutielles dy^, . . ., dyq figurent seules dans l'expression de li. De plus, tous les coefficients B,;., où / <;; ^ + i, k <Z.q -r 1, ne dépendent que de y^y y^, ..., yq. On a par exemple, si / < r/ -f- I . A' < </ -f I ,

B/A« = - — + ^; — + -:; — = o, ^'Jn ^iji ^tjk

et par suite — '— = o ; on démontrerait de même que B/h est indé-

pendant de yn-\-, ■•■, yq+i-

En second lieu, il n'est pas possible d'exprimer a. au moyen de q' variables z^, z^, . . . , Sq' et de leurs différentielles, si c/' <I q. En effet, le système S + S', ne contenant que q' difïérentielles, ne pourrait se composer de q équations linéairement distinctes.

Soit c la classe d'une forme i.1, c' la classe de la forme dérivée. Lorsque le système S ne renferme pas d'équations linéairement distinctes des équations de S', on a c= c', et il suffira d'intég-rer le système S' pour ramener il et il' à une forme réduite par un même chang-ement de variables.

Si c > c', le système S -(- S' contient c — c' équations de plus que le système S'. Pour intég"rer le système S + S', on intégrera d'abord le système S', et il restera ensuite à intég-rer un système complètement intég-rable de c — c' équations.

Exemple. — Soit il = x^dx^^dx^ -}- x^dx^dx^ + dx.^dx^ ; on a

Le système S' ne comprend que trois équations distinctes

2Xxdx^ + dx^ = o, dx^^ = o, dx^ = o,

tandis que le système S -f S' comprend quatre équations

dx^^ = o, dx^ = o, dx^ = o, dxj^ = o.

La forme il est donc de classe quatre, et la forme il' de classe trois. On peut écrire en effet

il — dX\CiXoCt{^XiXr> -\- Xa) ,

Remarque. — Toute forme de degré p et de classe/? peut être ramenée à la forme il = Kdy^dy^ • • • <^yp^ où K doit être une fonction de y^, . . . , i/^. On peut donc supposer K= i , et ii est une différentielle totale symbolique.

Toute forme de deg-ré p et de classe p + i peut de même être ramenée à la forme yp+idy^dy^ . . . dy^ (n" 28), et n'est pas une différentielle totale symbolique. La forme dérivée est aussi de classe p ■\- \.

Application. — Etant données/) fonctions quelconques indépendantes f\, h, ■•'■> fv de n variables x^, x^, . . ., Jîw(n > P), les déterminants

CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 139 fonctionnels A — P/i-A •• fp) où «,, aj, ..., «p sont/)

nombres entiers différents choisis parmi les n premiers nombres, vérifient des relations différentielles et des relations algébriques. On obtient ces relations en exprimant que la forme symbolique

o = Va dx dœ, . . . rfj?„ = (ff\(fA ■ ■ • ^/p»

OÙ le signe IS est étendu à toutes les combinaisons p -À p des n indices, est une différentielle totale symbolique de classe/). On a les relations différentielles en écrivant que il est une différentielle totale symbolique, et les relations algébriques en écrivant que il est de classe p. Ces conditions sont suffisantes pour que les fonctions A^ ^^ ^ soient les

jacobiens de p fonctions /i,/i, . . .,/p par rapport àp des variablesa?/, car toute forme de degré p et de classe p, qui est une différentielle totale symbolique, est réductible à la forme df^d/i ... djp. Il suffit même, nous venons de le voir, que cette forme soit de classe y). On peut donc écrire les conditions de deux façons, soit en écrivant que £1 est une différentielle totale symbolique, et que les équations de S se réduisent à p équations distinctes, soit en écrivant que les équations du système S + S' se réduisent à/) équations distinctes.

35. Analogies avec une forme de Pfaff. — Le système S' est l'analogue du système Sj étudié au u'^' 5, et le système S 4- S' l'analogue du système S^ (n<» 6), qui détermine la classe dune forme de Pfaff. On peut expliquer comme il suit pourquoi les svstèmes S' et S + S' sont une généralisation naturelle des systèmes Si et Sj. Etant donné une forme symbolique de degré p

il = y A, „ „ dx„ dx„ . . . dx„ ,

considérons p éléments linéaires différents

{dx^\ dx^', ..., dx„% {dx,\dx^\ ..., dx„% ...,{dx,p, ..., dx„p),

nous dirons que ces p éléments sont en involution relativement à la forme i», s'ils satisfont à la relation