a. . . . ap {^^)' (^« J • • • (^•^«i

la sommation étant étendue à tous les arrangements des n indices D à. p.

Dans le cas particulier où/)=:2, si la forme donnée est la forme dérivée co' d'une forme de PfafT w, la définition de deux éléments linéaires en involution coïncide bien avec celle qui a été donnée plus haut (no 3) 11 résulte aussi de cette définition que p éléments linéaires distincts appartenant à une même multiplicité intégrale de l'équation ii = o sont en involution relativement à la forme il.

Un élément linéaire [dx^^, dx^, . . ., dx^^) est un élément singulier pour une forme il s'il est en involution avec p — i autres éléments linéaires quelconques relativement à cette forme. Les équations du systèmes déterminent précisément les éléments sing-uliers pour la forme il, et les équations S' les éléments sing-uliers pour la forme dérivée il'. Dans le cas limite où la forme il est une forme linéaire, les éléments sing-uliers pour cette forme ne peuvent être que les éléments intég-raux eux-mêmes. On voit d'après cela que le système Sj (n'^ 5) définit les éléments singuliers pour la forme dérivée œ', et le système Sg les éléments singuliers pour les deux formes o) et m'. Les systèmes S' et S -\- S pour une forme de degré quelconque jouent donc le même rôle dans l'étude de cette forme que les systèmes S^ et Sg dans l'étude d'une forme de Pfaff.

L'analogie avec la théorie d'une forme linéaire se poursuit plus loin. Le système S\ écrit plus haut est évidemment l'analogue du système S^ (n" 7) ou système caractéristique pour une équation de Pfaff, tandis que le système S" formé par le second groupe des équations de S'^

(S") 2j Aikidxi + Aikdxn+i = o, (/,/?== I, 2, .. , n),

est l'analogue du système Sg, ou système de Pfaff'.

Si Ton peut satisfaire aux équations de S" sans supposer dXn-\-i=^o, le système S -(- S' est identique au système S'. Si nous

posons en effet

dxi -. ,

= fU,

dXn+l

les équations de S" s'écrivent

X A/ftA/ + A/ft = o,