CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

et on en déduit

de sorte que les équations du système S sont des conséquences des équations de S'.

Par conséquent, lorsque les deux formes 1>, iV sont de classes différentes, on ne peut satisfaire aux équations de S' qu'en prenant (ix,^^.^ = o. Ce système S" est donc identique à S', et le système S', est identique à S + S'.

Lorsque les deux formes il, ii' sont de même classe, les équations de S sont des conséquences des équations de S', et les deux systèmes S', S^' sont identiques. On voit en effet, par une combinaison imjnédiate, que les éléments linéaires qui vérifient les relations S' vérifient aussi les relations

2 kikldXhdxi + dXnJfi ^2 ^ikdxk\= o,

qui deviennent, en tenant compte de la condition A,a/ + \iik = o, dxn+i fy^ Aikdxk\ = o.

Si dx^j^^ n'est pas nul, on retrouve les équations du système S. Si c^J"„j.i = o, le système S' est identique à S' et, par hypothèse, les équations de S sont des conséquences des équations de S'. Tous les éléments linéaires qui vérifient le système S' vérifient donc aussi le système S et par suite le système S/.

Des quatre systèmes complètement intégrables S', S -+- S\ S^, S', il y a donc au plus deux systèmes distincts.

36. Classe d'une équation symbolique. Caractéristiques. — Le système S^' donne la classe de C équation a = o. Supposons que ce système se compose de m 4- i équations distinctes. Il admet alors -ni intégrales indépendantes de J?„+i et une dernière intéerrale dépendant de x,^^^ de la forme

qui s'obtiendra par une quadrature quand on aura obtenu les intég-rales premières indépendantes de Xn^.^. Imag-inons que l'on fasse un chang-ement de vaiùables de façon que y^^, y^, ,. . ., !/„i soient précisément m intég-rales de S^', la varialde auxiliaire £C^+i n'étant pas chang-ée. Les équations

2 Bikdyii = o, 2^ Bikidyi + Btkdxn+i = o

devront être vérifiées quand on y remplacera c/y^, dy.^, . . . , dy^ par zéro. 11 faut pour cela que tous les coefficients Bj/j, où l'un des indices est supérieur à m, soient nuls, de sorte que il ne renfermera que les différentielles dy^, . . . , dy^^. Il faut de plus que les relations

2j Bihidyi + Bikdxn+i = 0 (/ ^ m, k<^m)

se réduisent à une seule, ce qui exige que le rapport -p-^^ — soit indépendant des indices i et k. Mais on a.

„ î^Bik . dBkl , 3Bh DBift

:>yi ^yi :>yk ^yi

Le rapport - — - — ^ doit donc être indépendant de yi {l ]> m), et

par suite le rapport de deux coefficients quelconques de il est indépendant des variables ?/,„,j, ..., y^, et l'on a pour li une expression de la forme

(46) il => K 2 Cikdyidyii {i, /c = i , 2, . . . , m),

les coefficients Cih ne dépendant que des variables y^, ..., y^. Par un raisonnement déjà employé plusieurs fois, on démontre que la forme li ne peut être mise sous une forme analog-ue, où le nombre m serait remplacé par un nombre inférieur. C'est ce nombre m que j appelle la classe de V équation il = o.

Nous avons maintenant deux cas à disting-uer. Si le facteur K ne dépend que des variables z/j, y^^ . . ., y^, on peut évidemment supposer K = i. La forme il est elle-même de classe m, mais la classe de ii' peut être un nombre quelconque inférieur à m.