CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

Si le facteur K dépend d'autres variables que y^, y^, ..., y„^^ on peut supposer K = ym~i- Les m + i équations du système S'i se réduisent à

dy, = o, ...,dy„,= o, </y^+, + y^+idœ^+i = o.

La classe de fi estw 4- i, tandis que la classe de l'équation n^o est seulement m. Dans ce cas, la classe de a' est aussi m + i, puisque les systèmes S\ et S + S' sont différents.

En résumé, nous avons trois nombres à considérer : i° la classe c de la forme n ; 2^ la classe c' de la forme II' ; S** la classe y de l'équation £1= o. Ces nombres ne peuvent être tous les trois différents, puisque l'on a y = c, si c ]> c'. Dans le cas d'une forme de Pfaff, deux de ces nombres sont toujours différents.

Pour une forme de degré supérieur, ces trois nombres peuvent être égaux.

Par exemple, pour la forme Q.=x^dx^dx^ -\-x^dx^dx^ + dx^dx^, les systèmes S', S', S + S', S'i sont identiques et donnent dxi = o (/ = I, 2, ..., 6). Les trois classes sont égales à 6. 11 en est ainsi toutes les fois que le système S est équivalent à S'. Au contraire, pour une forme ^p^jC^yi . . . dy j„on a c=c'=:p-i- 1, -•■ = p.

Le système S^'i où x^^.^ est regardé comme un paramètre auxiliaire, est encore le système caractéristique pour V équation Il = o. Toute multiplicité intégrale de ce système, c'est-à-dire toute multiplicité dont tous les éléments linéaires vérifient les m équations de S^', est une nniltiplicité caractéristique. 11 existe des multiplicités caractéristiques M„„ k n — m dimensions représentées par les équations

Ul = C^, .. . , y„i = ^m"

où y^, . . ., y^ sont m intés^rales de S/, indépendantes du paramètre J?„+i, et toute multiplicité caractéristique s'obtient en prenant une multiplicité arbitraire sur une de ces multiplicités M,.„,. Nous dirons que y^^, .... y^ forment un système de variables caractéristiques.

Le lieu des multiplicités caractéristiques M„„^ issues des différents points dune multiplicité intégrale quelconque Mr de Céqua-

tion il = o est aussi une multiplicité intégrale de la même équation.

La démonstration est toute pareille à celle du n" 17. Supposons l'équation ii=: o ramenée à une forme réduite où ne fig-urent que les m variables caractéristiques //i, . . ., y,.^^^ et leurs ditterentielles. Soient

(4?) Ui = ?'("i' «2' •• • ' ^r), {i = l, 2, ... n)

les équations qui représentent une intégrale M^ à r dimensions, M^, ..., Ur étant /' paramètres arbitraires. Les conditions qui expriment que les équations (4?) définissent une multiplicité intég-rale ne font intervenir que les m fonctions cp^, ..., cp^^. On peut donc remplacer 9^^^, ...,9^ par des fonctions absolument arbitraires des /' paramètres ui ou d'autres pai-amètres. Les équations

y, = 9^(«j, ..., Ur), . . ., l/m=0,n{u^, ..., Ur), f/w+i = «/■+!, . . ., l/n^ Ur-{-n-m,

où Mr 4-1 5 • • ■, fir-\-n-m sont de nouveaux paramètres arbitraires, représentent donc aussi une multiplicité intég-rale qui sera à r -\- n — m dimensions au plus. Il est clair que cette multiplicité est le lieu des multiplicités caractéristiques M„.„j issues des différents points de la multiplicité M,.. En particulier, le lieu des multiplicités caractéristiques M„^ issues des différents points d'une multiplicité quelconque d'ordre inférieur à y; est une multiplicité intégrale.

Remarque. — Considérons lepi'oduit symbolique de /) formes de Pfaff distinctes

il = W^Wj ... Wp.

Si les /j équations o)/ = o forment un système complètement intégrable, ce produit peut être ramené à la forme

il = Kûfyi ... dy^;

//i, . . ., ijj^ sont les variables caractéristiques, et la détermination des multiplicités caractéristiques est ramenée à l'intégration du système des p équations oj/ = o.

Plus g-énéralement, si il est le produit de p formes de Pfatf ^«e/-

CHAJ»ITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES. 145

conques linéairemeat distinctes, la classe de l'équation il = o est égale à la classe du système de Pfaff formé par les/> équations t),= o ÇsoÏT plus loin Chap. VI).