Remarques sur rintégratîcn des systèmes précédents

Les systèmes S', S -^ S', ne soot pas des systèmes ditl'éreuliels quelconques. 5"/ Von connaît toutes tes intégrales du système S', sauf une, on peut achever Fintégration par une quadrature. Supposons que le système S' se compose de r équations distinctes et que Ton connaisse /■ — I intégrales premières. On peut supposer que l'on ait e£Fectué un changement de variables tel que ces intégrales premières soient yi, yi, ....yr—i. Les r équations distinctes du système S' doivent donc se composer des r — i équations dyi =i: o, . . ., dyr—i ^ o, et d'une seule équation distincte de celles-là. En d'autres termes, les équations du système S' doivent se réduire à une seule, quand on y faildyi = o, ... dyr—l = o. Elles ne peuvent d'ailleurs être toutes vérifiées identiquement après cette substitution, car le système S' ne comprendrait alors que r — i équations distinctes au plus. Tous les coefjicients Bîki, où deux des indices sont supérieurs à r — /, doivent être nuls. Supposons, par exemple, que l'on ait B/a./i :;zf: o, A et k étant supérieurs à r — i Les deux équations du système S', où l'on a fait dy^ ^ o, dyr—i = o,

2 Bikldyi = 0, ^ Bihidyi = o,

ne peuvent se réduire à une seule, car la première contient un terme tadyhet ne contient pas de terme en dyk-, tandis que c'est l'inverse pour la seconde.

Cela étant, prenons un système de valeurs pour les indices / et A* tel que tous les coefficients Biftj (où l^r) ne soient pas nuls. La relation générale

,,o, ^Bifti 3B/,jfc , ^Bihi :^Bhih

^ ^ ^!/h ^yi :>yk ^yi

devient, puisque Bhih = Bihi = o, si l et h sont X r,

n Le premier membre de l'équation \ BjAtrfy^ =r o, où Ton resfarde

l-r yi, . .., yr—l comme des paramètres, est donc une différentielle exacte, et la dernière intégrale s'obtient bien par une quadrature.

G. Leçons. 10

l46 LEÇONS SUR LÉ PROBLÈME DE PFAFf.

Le théorème classique de Jacobi sur le multiplicateur peut être considéré comme un cas particulier de cette proposition. Supposons en effet que le système d'équations différentielles

,r N djc^ dx^ dxn

admette pour multiplicateur l'unité, c'est-à-dire que l'on ait

Si n est impair, par exemple, la forme

ii/i— 1 = Airf.z?2 . . . dxn + A^dXf . . . dXndxi + • • • + ^ndXi . . . dxn—i est une différentielle exacte (no 26), et le système S' correspondant est identique au système donné (ooV

On démontrerait de la même façon que, si l'on connaît toutes les intégrales du système S -|- S' sauf une, les intégrales connues comprenant celles du système S', on peut trouver la dernière intégrale par une quadrature.

Dans le cas où l'on a c = 7 + i, on a vu au numéro précédent que si l'on a intégré le système caractéristique, on a sans aucune intégration la dernière intégrale du système S -\- S'.

Quant au système caractéristique lui-même, l'exemple cité à la fin du numéro précédent prouve qu'il peut être un système complètement intégrable quelconque.

38. Rang d'une fonction relativement aune forme symbolique. — Soit ii une forme symbolique de degré p k n variables, et de classe c. Si, dans cette forme, on remplace l'une des variables, Xi par exemple, par une constante C et dx^ par zéro, on obtient une nouvelle forme an — i variables 11^ de classe c\ = c — r, r étant positif ou nul. Nous dirons que r est le rangde x^ relativement à la forme H. Plus généralement, /"(iCi, ..., x„) étant une fonction quelconque, supposons que nous établissions entre les n variables Xi la relation y=C, d'où résulte la relation «//"= o entre leurs différentielles. Ce cas se ramène immédiatement au précédent par un changement de variables. Si par exemple/" contient j?i, on peut conserver les variables x^, . . . , x^ ; en remplaçant x^ par sa valeur tirée de y = G, et dXi par sa valeur tirée de û[/ = o, on obtient une forme n^, à n — i variables, et de