CHAPITRE IM. — FORMES SYMBOLIQUES DE DlFrÉRENTIELLES

classe c, £= r — r. Le nombre r est le rang de la fonction J relativement à la forme li.

Supposons il ramenée à une forme réduite, c'est-à-dire exprimée au moven de c variables y^, y,, . . ., yc» et de leurs différentielles. Si la fonction donnéey"ne s'exprime pas au moyen des variables y^, . . ., i/c seulement, mais renferme d'autres variables, il est clair que la relation y == G ne modifie pas l'expression de la forme réduite, et par suite le rang- de^est éjçal à zéro. Les seules fono lions f(jCt, . . .»a;„) dont le rang relativement à une forme a n'est pas nul sont donc les intégrales du système S + S\ dont l'ordre est égql à la classe de a.

Pour trouver le rang: d'une fonction y*(xi, ...,J„), on peut appliquer la règ-le générale suivante (').

Soient c la classe de la forme n, et y la classe du produit symbolique Qjdf; le rang de f relativement à la forme a. est égal à c — Y 4- î .

Supposons toujours a mise sous une forme réduite, où figurent seulement les variables y^, ..., yc et leurs différentielles. Si la fonctionyest indépendante de y^, .... yc, il est clair que le produit iifZ/'est de classe c + î ; il est d'ailleurs aisé de s'en assurer en observant que le système S + S' relatif à ce produit contiêût une équation de plus, soit df=^ o, que le système correspondante la forme £ï. On a dans ce cas y z= c + i, et par suite r = o. conformément à ce qui vient d'être énoncé.

Si y* est une intégrale du système S + S', nous pouvons évidem" ment supposer que l'on a.f=yi. Nous pouvons écrire 11^=11^ -j- ^My^, n^ et fijétant deux formes de degrés /> et/? -^ i respectivement, la première n^ ne renfermant pas dy^. Soit c^ la classe de la forme rij quand on y x-egarde y^^ comme un paramètre ; ce nombre Cj est inférieur à c, et le rang de yx est c ^ Cx. D'ailleurs on a ûj = 0.dyi = n^t/yi et par suite a/ =: n^dyi^ n^' désignant la forme dérivée de llj où l'on regarde y^ comme un paramètre. Les équations du système S -f S' qui déterminent la classe de la forme n^ s'obtiennent donc en adjoignant la relation dy^ = o aux équations du système analogue dont l'ordre est égal à la classe dt

(') Compte* rendus, t. i6&, p. 54i, iQ'?»

la forme Hj où yi est regardé comme un paramètre. Ou a donc Y = Cl 4- I > et par suite r =z c — y + i .

Il est à remarquer que l'énoncé est en défaut sj'o^ disparaît ; dans ce cas y et c^ sont nuls, et ij^ est de rang- c. Ceci ne peut arriver que si la forme ii est divisible par un facteur df.

Pour qu'une fonctiony soit de rang- r, il faut donc que le produit lit//' soit de classe c — r + i. En écrivant que les équations du système correspondant S + S' se réduisent à c - r 4- i équations distinctes, on a un système d'équations aux dérivées partielles simultanées du premier ordre auxquelles doit satisfaire la fonction y. Ces systèmes n'ont pas été, je crois, étudiés jusqu'à présent.

Exemple. — Soit ii = dxidœidœs + dœidxj^dx^ ; on a il' = o, ild/= dxidxidjcaipidxj^ + p-^dx^ + p^dx^)

+ dx^dx^dXfipidxi + p^dx^ + pidx,^), pi = -^ .

Les équatîoDS du système S' relatif à ilc(/ donnent les 6 conditions dxi = 0, à moins que l'on n'ait à la fois /Ji =: p^ = p^=: o, oup^ := p^ =/>g=o. Il y a donc deux familles de fonctions de rsrng trois, les fonctions F(,ri, Xi, X3) et les fonctions ^{Xi, x^, Xg). Toute autre fonction est de rang un.

Remarque. — Il n'existe pas toujours de fonctions de rang supérieur à un pour une forme symbolique il. Soit par exemple il2 une forme du second degré de classe 5 ; s'il existe une fonction de rang- deux par rapport à cette forme, on peut, par un choix convenable des variables, l'écrire

il2 = Xidx^dxi + (Aio?,ri + Aj(/j72 + ^s^x^ -f Aidx/^dx^^.

La forme la plus générale du second degré à cinq variables ne peut être ramenée à cette forme, car elle dépend de dix coefficients arbitraires, il-2 n'en renferme que quatre, et le changement de variables le plus général n'introduit que cinq fonctions arbitraires.

Généralisation. — On peut g-énéraliser cette théorie, en considérant un groupe de fonctions au lieu d'une fonction unique. Soientyj,y2, . . . ,fq un système dey fonctions distinctes des variables indépendantes. Si l'on prend un nouveau système de variables, tel (\viQ fi = Ui, • • -ifq "= IJq^ il peut arriver qu'en faisant