CHAPITRE III. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

yi = C/, di/i =0 (i = 1,2, . . ., q) dans la forme £i, la classe de la nouvelle forme soit inférieure de r unités à la classe de la forme £i. On dit alors que le groupe de fonctions {f^^^fi,, ...,y^)estde rang^ r relativement à la forme a. Pour que r soit positif, il faut et il suffit que. parmi toutes les fonctions de la forme ^{fi^fz, •■ifq)'. il V ait une ou plusieurs intéerrales du système S + S'; la démonstration est toute pareille à la précédente. On peut donc se borner à étudier les groupes formés d'intégrales du svstème S + S'. Soient, par exemple, /"j et f^ deux intéarrales de ce système, de rangs r^ et Tj respectivement ; si les relalionsyj = Cj,^, = C, abaissent la classe de il de r unités, r est le rang du groupe ifi,/^- H est à remarquer que r est au moins égal au plus grand des deux nombres Tj, Tj. mais il n'est pas forcément égal à Tj -f r,. Ainsi, pour la forme de PfafiFoij = y^dz^ -\- y^dz^, les fonctions y^, y^ sont de rang un, et r^, z^ sont de rang deux ; les couples (y^, z^, (y^, z^) sont de rang: deujc aussi, les couples (s^, y^), {zt, yi\ (yi, y^) sont de rang trois, le couple (rj. Zi) est de rang ^Mrt/re. Voici un autre exemple où r est supérieur k r^ -\- r^. Pour la forme du second degré x^dXydx^ + x^dx^dXj^, x^ et x.^ sont de rang un, tandis que le couple {x^, x^) est de rang quatre. On reviendra en détail sur ce sujet pour une forme de Pfafif (Chap. IV).

Application. — Une difFérentielle totale symbolique du second degré est toujours de classe paire, puisque le rang de cette forme est toujours un nombre pair (no 32). II s'ensuit que le rang d'une fonction y relativement à il' est téro ou deux; en reprenant une suite de raisonnements tout à fait analogues à ceux du n' 13, il ssrait facile d'en déduire directement que cette forme il' peut être ramenée à une forme canonique

dyids, + . . . + dypdzp,

si elle est de classe 2p Nous laisserons au lecteur le soin de développer lui-même la démonstration, sans supposer connue la réduction d'une forme de Pfaff. On peut prendre pour y, une fonction quelconque de rang deux (voir n» 12).

39. Formes du second degré à quatre variables. — Soit il une forme du second degré à quatre variables

(5 1 ) ^' — 2 '^ikdxidxft, (/, /f = 1 , 2 , 3, 4) ;

f50 LEÇONS SFR LE l^ROBLÈME DE PPAFF.

si celte forme est une différentielle totale symbolique, elle est de classe 2 ou 4, et peut être ramenée à une des formes canoniques ^Ui^ifii ^Ui^U'i + dy^^Uii y il y^^ Z/31 Z/4 ^tant des fonctions distinctes des variables x^^, x^, x^, x^. Si n n'est pas une différentielle totale symbolique, elle est de classe 3 ou 4 ; si elle est de classe 3, elle peut être ramenée à la forme canonique y^di/ydy^ (n° 34), les trois fonctions y^^, y^, y^ étant distinctes. Considérons enfin le cas général où il est de classe 4? sans être une différentielle totale symbolique.

La forme dérivée

(5.) a' = 2 </A«rf^,rfx. = {^^ + ^H + ^^) dœ,dx,dx,

^ (^ ^îhl + ^\ dx,dx,dx,

\ 3j?2 ^Xi ^Xi y < 1 -

+ l'AlL + ^^ 4- ^\ dx,dx,dx.

n'est pas identiquement nulle, et l'on a observé qu'elle était de troisième classe. On peut la ramener (n*' 34) à la forme canonique Q! ^^ dy^dy^dy^, en prenant pour y^, y,, y^ trois intég-rales distinctes convenablement choisies de l'équation linéaire aux dérivées partielles

) /Mil 4- ^''^^i I

On peut môme ramener iV à cette forme canonique d'une infinité de façons en remplaçant y^, y^, y^ par trois fonctions Y/(^,, //g, y^)

(/ = I, 2, 3), dont le jacobien — — - — - — ^ est éffal à l'unité.

D'après sa siernification. réquation {53) est un covariant de la