CHAPITRE 111. — FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRENTIELLES

forme a, relativement à tout changement de variables, puisque toute intéarrale de cette équation annule identiquement le produit symbolique ddf, qui est un covariaut de n. Le système d'équations différentielles

^Jr^ '^x-i ?a*3 ?j?i "^.r, ^x^

jAti ;>Ajâ ?.A„ ?a?î :>a-4 îsx^

ÎSXs ^Xt ;>Xs

associé à l'équation aux dérivées partielles (53), est aussi un système covariant de la forme fi.

Les intégrales de l'équation- {53) sont de rang 2 ou 4 relativement à la forme a.

Il suffit évidemment de prouver que l'intégrale i/i par exemple est de ranar 2 ou 4- Or. puisque l'on a i^- =dy^dy^dy^y ou en conclut que la forme ii peut s'écrire

w étant une forme de Pfaff à quatre variables y^, y^-y^, ^4- Si l'on fait maintenant ^i = C, w' devient une différentielle totale symbolique à trois variables et du second degré ; elle est donc de classe deux, à moins d'être identiquement nulle, ce qui ne peut arriver que si il est divisible par dyi.

Réciproquement, soity*(j7j, x^yX^. X4)une fonction de rang deux relativement à la forme f». Cette forme peut s'écrire il = lodf + II, oj étant une forme de Pfaff. n une forme du second degré qui ne contient pas la différentielle df, et qui est de seconde classe quand on regardey comme une constante. On peut donc, en choisissant deux autres fonctions /"jj^^, distinctes de y, mettre encore a sous la forme

il = i^^df -\- df^df^,

on en tire il = d(MidJ\ et par suite f est une intégrale de l'équation (53) a'£//= o.

Il existe donc pour une forme générale du second degré à quatre variables une infinité de fonctions de rang deux, qui sont des

fonctions arbitraires de trois fonctions indépendantes. Ce sont des fonctions distinguées relativement à cette forme. Nous avons vu qu'il n'existait pas de fonctions de cette espèce pour une différentielle totale symbolique du second ordre de classe 4^4 variables.

Si la forme il admet un facteur intégrant sans être une différentielle totale symbolique, on peut l'écrire II =: yjili, la forme 111 étant une différentielle totale symbolique de classe quatre. La variable y^ est nécessairement de rang- deux relativement à celte forme fl,, qui peut alors s'écrire dij^diji -\- dy^dy^,, d'après la remarque qui termine le paragraphe précédent. La forme il peut donc être ramenée à une forme canonique

^ — !/i{d!/idy.2 + dy^dy^),

et l'équation (53) devient-^— rr o.

Si II n'admet pas de facteur intégrant, il n'existe pas de forme canonique. Nous venons de voir que II peut être ramenée à la forme.

H := yidy^dys + a (i),

H'i) étant une différentielle totale symbolique qui contient nécessairement une variable y^. distincte des variables yt.yt, y^. Cette forme 11(1; peut être de classe 2 ou 4- Si elle est de classe deux, on peut écrire II sous la forme

Il = yidyidy^ + rf//+ri/,

y étant uue fonction arbitraire de yi, y^, y^, yi- Si 11(1) est de classe quatre, elle renferme les quatre variables y^, y^, y^, y^, et on peut la mettre sous la forme

Hd) = dyidj + 11(2),

Il " étant une autre différentielle totale symbolique de classe deux. Si y ne renfermait pas y^, la forme yxdy^dy^ -\- dy^df serait une forme de classe trois, que l'on pourrait écrire par un changement effectué sur ces variables seulement, Sidz^dz^ et l'on serait ramené au cas précédent. Si ycontienl la variable y^, on peut posery= y^, et H prend la forme

i^ = yxdyidy-i + dy^dy^ + df^df-,,

fi et,/2 étant deux fonctions arbitraires. Il est évident a priori qu'on ne peut trouver pour II de forme réduite où figurent moins de deux fonctions arbitraires, puisque cette forme contient six coefficients kih, et un changement de variables n'introduit que quatre fonctions arbitraires.