CHAPITRE m. FORMES SYMBOLIQUES DE DIFFÉRE.NTIELLES

Remarque. — L'intégjTale i H' est un invariant intégral absolu

pour le système d'équations différentielles (54), et l'intégrale / flun

invariant intégral relati/ pour le même système (Voir chapitre V).

L'équation symbolique D.=z o admet toujours une infinité d'intégrales à deux dimensions dépendant d'une fonction arbitraire de deux variables. Si l'on considère, pour fixer les idées, jCi et jCî comme deux variables indépendantes, la multiplicité 'SU définie par les deux équations X3 = /{jcj, jCi), Xi = fi^i, Xi) est une intégrale de l'équation Ilnro, pourvu que les fonctionsy et y vérifient une seule relation

n (xu Xi, f,^,^,^ ,^, ^\ = o,

\ oXi iSx9 3a?i ?J?2/

que l'on obtient en remplaçant x^, J?^, dxs, dXi pnr /, v, df, dv respectivement dans la forme fî. L'une des fonctions y, ç> peut être choisie arbitrairement, et la seconde est déterminée ensuite par une équation aux dérivées partielles du premier ordre. On a déjà remarqué (nos 27 et 30) que les équations de ces multiplicités peuvent être écrites explicitement, après l'intég-ration d'une équation de Pfaff, lorsque la forme fl est le produit symbolique de deux formes linéaires, ou lorsqu'elle admet un multiplicateur (*).

(') Certains problèmes de fféométrie conduisent à des équations symboliques de la forme (5i). En voici un exemple, qui se rattache à un problème étudié par M. Axel Es^nell (Comptes rendus, t. 171, p. 11 19).

Considérons la congruence de droites définie par les équations

où X, y, r, a, b sont des fonctions de deux paramètres arbitraires u et v. Pour que la surface S lieu du point (x, y, 5) soit la surface moyenne de cette congTuence, il faut et il suffit que les fonctions x, y, s, a, b vérifient l'équation symbolique

dady — dbdx -j- dsibda — adb) zz o.

La surface S étant donnée, on peut poser