APPLICATION DES FORIVIES SYMBOLIQUES AU PROBLÈME DE PFAFF

40. Dérivées successives d'une forme linéaire.— Soient w une forme linéaire de différentielles à n variables

w =;= Aidxi + k^dx^ + . . . + Ky^dx^

et w' la forme dérivée

to' = dk^dx^^ + dk^dx, 4- • ■ . -\-dk,^dx^.

Le produit symbolique

to" = a)w' = {k,dx, 4- . . . + kjx„){dk,dxl + • . . + dkjx^)

est une forme du 3" ordre que nous appellerons la seconde forme dérivée de w. De même le carré symbolique

-'" == ^ (-? = ^ (dk.dx, + . . . dkjxj^ = \ dkidxidkhdxk,

OÙ la sommation est étendue à toutes les combinaisons des indices 2 à 2, est la troisième forme dérivée de o). Le produit symbolique

to'v=: wa)"' = (AiC/a3i + ..• -\-kndxn) (^ dkidxidkxdxh)

est la quatrième forme dérivée de w. D'une façon générale, la dérivée d'ordre impair 2m — i de w est égale à la puissance m'ème symbolique de 0/, divisée par m !

(!) Voir le Mémoire déjà cité de M. E, Cartan, Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff (Annales de l'Ecole Normale Supérieure, 3' série, t. i6. i8gg, p. 23g-3.32). Le contenu de ce Chapitre est extrait pres' que entièrement de ce Mémoire, sauf quelques changements dans les démonstrations.