CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYifBOLIQUES

c'est donc la somme de tous les produits m km. des produits symboliques dX^dx^. dXfdXf, . . .,dX^dx^. La dérivée d'ordre pair am est égale au produit de w par w'âm— i)

La dérivée d'un ordre quelconque/) est donc une forme de degré

Supposons qu'avec un nouveau système de variables (y^, . . . , y^) la forme w se change en une forme m linéaire par rapport aux différentielles dyi. On a déjà démontré (n" 26) que, par ce changement de variables, la forme dérivée lo' se chanere en cj'. Le produit symbolique b»" •= ojto' se transforme donc en le produit symbolique liiEr' = m'. La même propriété s'étend à toutes les formes dérivées de ta, qui se déduisent de t-j et de «./ par des multiplications symboliques. Si un chanarement de variables transforme la forme linéaire w en une nouvelle forme linéaire m, la même transformalion change la dérivée wiP) en la dérivée nifP>.

Soit w = foj -f- Wj la somme de deux formes linéaires. On a évidemment to' := to\ + oj''.,, et une dérivée d'ordre impair w'-3"»— i) est égale à la puissance «j'ème symbolique (/) de w' divisée par m !

Comme w'^ et w'^ sont des formes d'ordre pair, on a aussi

+ ^^^^(-'iV^-V*)' + - + K)"*|,

ce que l'on peut encore écrire

(l) w(2^-l) = w^(-2'"-l) -f w,i-2'«-Vi 4- ^ Cp9Wj(2/>-l)wjP?-ï),

Cpq étant un coefficient différent de zéro, et la somme des deux nombres positifs/? et q étant égale à m. On remarquera qnil ne Jîg lire dans Vexpession de bii-"*—^'i que les dérivées d'ordre impair

de oj, et de Wj.

(*) Il ne faut pas confondre les deux expressions fw)"» et «<■•), dont la première désigne la puissance //j'ème symbolique de u, qui est nulle, tandis que la seconde représente la wiême forme dérivée de «.

On a de même

chacun des produits partiels contient une forme dérivée d'ordre pair et une forme dérivée d'ordre impair. On remarquera que, dans les deux cas, toutes les dérivées d'ordre impair de w^ et de oj, y figurent.

Remarque. — Si, dans une forme linéaires, on supprime le terme en dx^ et qu'on reg-arde x^ comme une constante dans les coefficients de dx^, ..., dx,^, on obtient une forme linéaire to^kn— i variables. Quand on fait de môme <id?, = o dans la p'^^^^ forme dérivée oAp), on obtient une forme de deg-ré /) -f- i qui est précisément la ^lème forme dérivée de w^, où a^j est considéré comme un paramètre. Il est évident en eflet qu'on aboutit au même résultat en faisant dx^ = o au début des calculs qui conduisent de oj et de (,)' koAp), ou en effectuant ces calculs sans faire cette hypothèse, et remplaçant ensuite dx^ par zéro dans le résultat obtenu. Or supposer dx^ = o dans w et w', ceLi revient à remplacer w par Wj et la forme dérivée w' par w'j. Il es^ d'ailleurs évident que si la forme m'p) est nulle, il en est de même de wi^P).

41. Nouvelle détermination de la classe d'une forme de Pfaff. — Toutes les formes dérivées successives d'une forme w de classe c sont elles-mêmes de classe c au plus, car si w ne renferme quec variables j:^, a72,...,a?(. et les différentielles dxi, dx^, . . .,dxc, il est de môme de toutes ses formes dérivées. La dérivée w(c), étant de deg-ré c -f 1, sera donc nulle; la à^"^^ forme dérivée w(c) d'une forme w de classe c est nulle. Il en est évidemment de même des formes dérivées suivantes.

Réciproquement, si la c'ème forme dérivée de w est nulle, la forme w est au plus de classe c (^).

('} La démonstration serait très facile en s'appuyant sur les propriétés des formes de Pfaff établies au chapitre I, mais la démonstration du texte est indépendante de cette théorie.