CBAPITBE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES
D'une façon plus précise, nous allons démontrer que les c — / premières formes dérivées oi\ w", . . ., wic-i) d'une forme w de classe c ne sont pas nulles.
11 en résulte que, pour avoir la classe d'une forme linéaire w, il suffira de former la suite des dérivées successives de w ; si la première forme dérivée qui est nulle est w""), la classe de w est m.
La proposition est évidente pour une forme de classe un. Elle est aussi très faciles établir pour une forme de classe deux. Si"a> est une forme de classe deux, on peut l'écrire, par un choix convenable des variables, w = i/idi/, ; on a alors
b)' = di/idyt, cj" = w'.w = difidy^ X Uidy^ = o, w'" = — {dyidy^f = o, to'^ = w"co = o.
Pour établir que le théorème est général, il suffira donc de montrer que, s'il est vrai pour les formes de classe inférieure à c, il est encore vrai pour les formes de classe c.
Soit w une forme de classe c. Nous pouvons supposer qu'elle ne contient que c variables et leurs différentielles
<i) = Aj</Xj -|- Agf/Xj + . • + Acdxc,
Aj, Aj, . . . , Ao étant des fonctions des c variables x^, Xi, . . .,Xc. et
de celles-là seulement. La forme u^ obtenue en faisant dx^ = o
dans w,
(Oj = Aidx^ -1- . . . + kcdxc,
est au plus de classe c — i, quand on regarde dans les coefficie;its x^ comme une constante, car cette forme ne renferme plus que les c — I variables x^, x^, . . ., Xc- Elle ne peut être de classe inférieure à c — 2. Supposons en effet qu'elle soit de classe c — 3 par exemple. On pourrait alors choisir un nouveau système de variables y^, . . ., yc-2, fonctions de J?!, x^, . . . , Xc, telles que l'on ait
.., = B, (^dy.. ^^l ^o-,) 4- . . . + B^, (^dyc-, - ^ dx.^
Bg, B3, . . . , Bc— 2 étant aussi des fonctions de x^, y^, . . . , yc—iy et l'on aurait
tu = Bjf/xj + ^%dy% -r • • • + ^c-odyc—^.
Cette forme w ne peut être de classe c. En effet, si Bj ne dépend
158 LEÇONS SL'R LE J'ROBLÈME DE PFAFf.
que de as^, y^^ . . . , ^c-?. w ne renferme que ces c — 2 variables et leurs différentielles. Si Bj est indépendant de ic^, //a, . . . , yc-2> on peut poser ^^^^= yr. i^ ijc—i étant une nouvelle variable, et w ne renferme encore que c — i variables.
La forme w^ est donc de classe c -^ 2 ou de classe c— i , quand on regarde x^ comme une constante dans les coefficients A2, ..., Ac.
On peut toujours choisir la variable x^ de façon que la classe de (assoit c — 2. Supposons en effet que la classe de w^, où l'on donne à x^^ une valeur constante, soit c — i . La forme dérivée a)(c— 2) ne peut alors être nulle, car il en serait de même de la forme obtenue en faisant dx^ = o dans w('^-2) ; or, d'après la remarque qui termine le parag-raphe précédent, cette nouvelle forme est identique à la forme dérivée 6Ji(c-2), prise en regardant jjj comme un paramètre dans les coefficients de Wj. Cette forme ne peut donc être nulle dans l'hypothèse où l'on se place.
La forme cûi^^-'^) est donc une forme de degré c — i à c variables dont tous les coefficients ne sont pas nuls, et l'équation
w'c-%df= o
admet c — i intégrales distinctes. Supposons que l'on prenne un nouveau système de variables y^, y^, . . ., yc, àe façon que y^ soit Tune de ces intégrales. La forme w se transforme en une nouvelle forme
CT = B^dy^ + B^dy^ -f . . • Bcdyc,
et l'on a la relation
m^'^-^^dyi =0.
Il s'ensuit que la forme à laquelle se réduit th'^— 2) quand on y fait dy^ = o est nulle, c'est-à-dire que la (c — 2)ième forme dérivée de
Toi = B^dy., 4- ... 4- Bcdyc
où l'on regarde y^ comme constant, est nulle. Cette forme cr^, ne pouvant être que de classe c -- i ou c — 2, quand on fait cette convention, est donc de classe c — 2, et nous retombons sur la première hypothèse (^).
C) On peut remarquer que le raisonnement prouve directement qu'une fonction y ne peut être d'un rang supérieur à deux relativement à une forme de PfafF, et qu'il existe effectivement des fonctions de rang deux (Cf. n» H).
