CHAPITRE IV. — Al'MlCAllO.N btS FUHMtS SYMBOLIQUES

On peut donc toujours supposer que l'on a choisi la variable œ^ de telle façon que la forme '^j^

ojj = Ajcfo-j + . . . -I- AcdjCc-,

ou l'on fait x^ = G, est de classe c — 2. On peut alors prendre un nouveau système de varia blés y 2» •••,yc-i, fonctions de.r^, a;,,..., JCc de façon que l'on ait

Bî, ..., Bc— 1 étant des fonctions de x^^, y^ yc—x- et l'on a aussi

w = Bj^a^i -h ^idyi + • • . -r Bc-idyc-\.

Le coefficient Bj est forcément indépendant de x^. y.,, . . ., yc—i-, sans quoi w^ ne pourrait être de classe c. On peut donc prendre ce coefficient pour une nouvelle variable Xc, et, en revenant aux premières notations, on voit que toute forme « de classe c peut, en choisissant convenablement les variables, être mise sous la forme

Wj ne renfermant ni Xc, ni dxc, ni dxi, et cette forme étant de classe c — 2 quand on y regarde Xi comme une constante

Il est facile d'en déduire que les formes dérivées m^'— ^\ w'*""^', ne sont pas nulles. Démontrons-le par exemple pour la première. Puisque «^ est de classe c — 2 quand on y reg-arde x^ comme un paramètre, on a

„,(e-i) = o. Mi('^-2t = ç^dx^, Mj<<^-3t — ûî ^ Çi^dXi,

Û2 étant une forme différente de zéro, où cte^ne fig-ure pas. D'après les formules qui donnent les formes dérivées d'une somme, on a

w(<^-l) = «/<•-! ' + C^^Xcdx^fù^^^-'^) + C^dxcdx^bi^^c-^) ,

Gj, Ci étant des coefficients numériques dont le second Cj nest pas nul ; il reste donc

,jc-i) ^^ Cidxcdx^P.,,

et cette forme ne peut être nulle, puisque fi» ne renferme ni dx^, ni dxc- On verrait de la même façon que dans la forme w(''~^)(yl>-i),

tous les termes qui renferment dxc ne peuvent être nuls. Le théorème énoncé est donc établi (*).

42. Systèmes adjoints à une forme linéaire. — Soit wune forme linéaire de classe c k n variables Xi, x^, . . . , ,x„ (c <^ n). La forme dérivée oA^-^) n'étant pas nulle, l'équation symbolique

est équivalente à un système complet Xj d'équations linéaires

en -^ ,-•'■, -^ , Qui est dit ad /'oint à la forme w. H est évident que

ce système Xj est un covariant de la forme w relativement à tout changement de variables. En effet, supposons que, par un nouveau choix de variables {y^, ...,//^), w se chang-e en une nouvelle forme cr = B^di/^ + • • • + B„c^y„, et/(a;i, . . . , aîj en (pf^/i, ..., y^) ; le produitsymbolique'o(c— liesse chang-een njf^-^Wcp et l'équation (3) est remplacée par l'équation de même espèce

(4) Tn(^-i)^cp = o.

La forme w étant de classe c, on peut choisir les variables î/ii l/i^ •••■» ya ^^ façon que u ne renferme que les c variables yi, yi, . . ., yc et leurs différentielles. Gomme ct(^-I) est de classe c au plus et n'est pas nulle, on a forcément, avec ce système de variables,

v,{c-i) — Adyidy^ . . . dyc,

A étant une fonction de y,, y 2, ■ . • . ?/c» diflérente de zéro, et l'équation (4) est équivalente algébriquement au système complet

qui admet les c intégrales distinctes 9 = y^^, . . . , ç = ^c-

Le système adjoint Ij admet donc c intégrales distinctes qui sont précisément les variables canoniques, figurant dans la forme l'éduite de &j (no 6). Si en particulier c = «, une fonction quelconque de j?i, . . , x^^ est une intégrale de ce système.

(*) La démonstration donnée par M. Cartan est un peu différente {Annales de l'Ecole Normale Supérieure, 3" série, t. 16, p. 254-25j).