CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES
Soit de même 'J''--' la (c — a)'*™* forme dérivée de w. L'équation symbolique
(5) ^{c-'î)df= o
est équivalente algébriquement à un nouveau svstème complet S, qui est le second système adjoint à la forme w. Il est évident que ce svstème I^ ^st encore un co variant de a> relativement à tout changement de variables. Ce point admis, prenons le même svstème de variables que tout à l'heure, de façon que w se change en une forme a où ne figurent que les c variables ^j, ..., yc et leurs différentielles. La forme dérivée ci'<^-^' ne renfermera elle-même que ces variables, et on aura
Bj{<^-2) = %^dy^ ... dyc ■{■ x^dy^ ...dycdy^ + . . . + Xcdy^ ... dyc-i,
les coefficients z, ne dépendant que de y^, . . .,yc, et l'un au moins nétaut pas nul. Le produit 'Jp--^df s,q change en
ra(c-'i)dz =Y^dyi... dyc + x^dy^ ... dycdy^ + ... + xcdy^ ... dyr-i l
et, pour que ce produit symbolique soit nul, il faut et il suffit que Ton ait
?yi ^yi ~ ^ijc
Ce svstème qui n'est autre que le svstème ïj, écritavec les nouvelles variables y, ...,y^ admet évidemment c — i intégrales indépendantes Y^, Yj, . . ., Yc i, fonctions de y^, y^.
Le second système adjoint S^ admet donc c — / intégrales distinctes, qui sont elles-mêmes des fonctions des c intégrales du premier système I^.
Il est facile d'avoir la signification de ces intégrales. Soit eu effet yi =^fi une de ces intégrales. L'équation
taic—^di/i = o G. Leçons. \[
162 LÈÇOiNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
exprime, comme on l'a déjà remarqué au numéro précédent, que quand on fait ij^ = C, dy^ = o dans la foi me w exprimée au moyen de n variables dont fait partie y^^, la classe est diminuée de deux unités. Les intégrales du système Sj sont donc identiques aux intégrales premières du système de' Pfoff S^ {n° 7), et par suite ^2 6st le système complet associé au système complètement intégrable S3.
Les deux systèmes Sj et ï^ sont les systèmes complets adjoints à lajorme w, qui admettent respectivement c et c — i intég-rales distinctes. Toute intég-rale de I.^ appartient à X^ et est de rang deux ; toute intégrale de S^. n'appartenant pas à ig' ^^t de rang un {n° 11). On voit que l'on peut très facilement, au moyen des formes dérivées successives, avoir tous les éléments nécessaires pour la réduction d'une forme de Pfaff.
Exemple. — Soit
M = ,r\X'idx2. + x^^XidXi + [x^ + XzX^)dx^ -\- x^x^dx^ ; on a successivement
w' =: XidxidX'i-\- X2dxydXi-\- dxidxi -\- x^dx-^dx^ -{- x^dx^dx^,
w" = mm' = Xs^x^dxidxidx^ -\- x^x^x^dxidxzdx/^ + x^x i^dx\d x.i,dx^
+ x^ix ^x ^dx^dxidxv, + Xzx^dXidx^dx^ + XiXzX^dxidx^dx^
+ XiXsX^dxidx^dx^ — XiX^dxzdx^dx^, m'" z= — {m')^ =: XiX^dXidxtdx^dX/^
+ x^x ,^dx idx^dx-idx^^ — x^dx^dx^dx^dx^, r„"" = M"'M = 0.
La forme m est donc de quatrième classe. Le premier système adjoint li déduit de o}"'d/ := o se compose d'une seule équation
* Zx-i :\Xi 2^x.^
qui admet les quatre intcg-rales distinctes
L'équation 'J'df =. 0 fournit de même un système complet Zj formé de deux équations
o^Xt i>X^ i-'J^s
x,zr X2--^-\- Xi -^ = o,
* î>Xi D^-2 :>xs
