CHAPITRE IV. AI'PLICATIO-N DES FORMES SYMBOLIQUES

qui admel les trois intégrales — - , x^jc-i -f- x^, x^x^. Si l'on prend pour

variables

Xi, Xi, Xi, XiXs 4- Xi= y^, XiX^ = i/^,

on trouve immédiatement pour '^ une forme canonique

w = Xidi/i + Xsdy^.

Nous allons calculer les formes dérivées de l'ordre le plus élevé pour une forme canonique. Soit

une forme canonique de classe paire im, les variables indépendantes étant Xi, Xi, . . ., a;,„, p^, . . ., /),.,. Nous avons d'abord

r^Çim-i ) -- Ç^ 'dptdxi -r dptdxj -f- • • • + dp^dx^)'"

= dp^dx^ dp,dxi . . . dp^dx^; puis

idpidx.+^^+dMn-^ (^^^^^^ ^ ... +/> AJ.

Dans le développement de ce produit symbolique, il y a un seul terme contenant dxi qui est

pidx^dpidx, . . . dp^dx,,,

et les autres termes s'en déduisent par permutation. On a donc

w(2m— 2) = p^dxidpidxi . . . dpjix^ 4- dp^dxip^dx^^ . . . dp^dx„ 4- ... ;

on peut remarquer que «af^'"-^) se déduit de wt^m-ij g^ remplaçant successivement dpi par /),, dpi par/>g, . . ., et faisant la somme des monômes ainsi obtenus.

Une fonction quelconque des 2m variables x,, pk est une intég^rale de l'équation '^i'^'n—^>d/= o, tandis que le produit &)'"2^— -)rf/ est égal à

— (/>! ^ + />» ^ + ••• + P-^^ dp^dx^dp.dx,... dp^dx^.

L'équation symbolique w(2«i— 2)0^ ^= o est donc équivalente à l'équation linéaire (Cf. no 9)

<>pY '>Pï <>Pin

qui admet les im — i intégrales

^ y. P^ Pm

P\ Pi

Calculons encore le produit symbolique

/ etcf étant deux fonctions quelconques des variables Xi, pk- On a

^(•2ot 3) {^')"'~^ ^ jdpidœi + ... + dpr^dœm)"'-^ (m— i)! (m — I)! '

ou encore

^j(2/n-3) — dp^dx^ ... dp^dx^^ + dp^dx^dp^dx^ ... dpjix^^^

■\- ... ^ dp^dx,... c^/)„,i</^,„i .

Le produit symbolique dp^dx^ ... dp„^dx„^dfd<^ est évidemment égal à

et de même pour les autres produits partiels. On a donc

c'est-à-dire {Leçons n^ 48).

(7) ^('irn-?,)dfdr^ = (/, ^)dp,dx^dp^dx., . . . dp^dx„,.

Prenons maintenant une forme canonique de classe impaire zm + I, que nous écrirons

M = ds — p^dx^^ — p^dx^ ... — p„^dx^. On a

w' = dx^dpi + ..• + dx^dp^

f,j(2/n-i) ::^ l^ij __ dp^dx^dp^dx^ ... dp^dx^ «(î/w)— «(î/w-i) X w = dzdpidXi ... dp^^dx^^.