CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES
Toute fonction de z, Xt, ••.»/>m ^^^ une intégrale de (J'^df= o, tandis que l'équation 6j'^^-*)<//'=o est équivalente à — ^= o (n" 9). Calculons aussi le produit symbolique
f et -z étant des fonctions quelconques des im -f- i variables z. Xi, ph-
Il est clair que f/rc(/?i<ya:j ... dp^^.dx^ figure dans tous les produits partiels. En prenant le facteur dz dans w, on voit comme tout à l'heure que la somme des coefficients obtenus est
En prenant le facteur dz dans df ou dans i/s, on reconnaît de même que la somme des coefficients obtenus est égale à
On a donc {Leçons n" 49)
(8) „«»-^rf/d, = yJ^(^^ + /,-îj)
1 = 1 -^ G^ -^ />/^)|rf5c//,.rfa.. ... dp„,dx„, = '/' rdzdp^dx^ ... dp„,dx^.
43. Groupes de fonctions conjuguées. — Les propositions qui font l'objet du paragraphe précédent se généralisent facilement. Soientyj,yj, . . .,/'q un système de q fonctions distinctes de Xj, 0^2' •••■• -^nCy^C f^)- Imaginons-tjue l'on prenne un nouveau système de variables telles que q de ces variables soient les q fonctions yi, fi, " ■* fq elles-mêmes, les n — q autres variables yq-Y\i ••■■tUn pouvant être choisies d'une façon quelconque de manière à former avecyj,^, . . .,fqww système de n variables dis-
tinctes. La forme linéaire w se chaiig-e en une nouvelle forme linéaire
(9) m = B^c(/i -f ... + ^qdfq -(- Bç+ldl/qJ,i + .•• + T^ndi/n,
Bj, ..., B,i étant des fonctions àe/i,/^ •-••, fq^ yq+\i •■•, yn-On pourra par exemple prendre pour nouvelles variables, avecy^j/a, ...,fq, n — q des variables xi, soit Xq^i, . .., Xn ; des q relations
. dfi=^£-dx,+ ... + '^^dx^ {i. = i,2, ...q),
on tirera dxi, ..., dxq en fonction de d/i, ...,dfq, dxqj^i, ..., dxn, et en les portant dans m, on aura la nouvelle forme to, où il faudra encore remplacer x^^, ..., Xq dans les coefficients par leurs expressions au moyen dej^j, ■••■,fq, Xq-^i, . . ., Xn-
Si dans la nouvelle forme non supprime les termes en dj'^, ..., dj'q, et qu'on remplace ensuite dans By^ 1, ..., B„ les nouvelles variables J\, •'••,fq pfir des constantes quelconques a^, ...,aq, on obtient une nouvelle forme
Wq = Bq-^-idyqj^i + . . . + Bndyn,
de classe c — r (r "^ o), c étant la classe de w. Nous dirons que les relations
,. { fi = f'i ' f2 = fiv ■■■, A = ftq,
\ df^. = 0, df^ = o, ..., dfq = o
abaissent la classe de w de r unités, ou, d'une façon plus abrég-ée, que les q fonctions f^,/^, . . .,fq forment an groupe de rang r. Le nombre r ne peut évidemment être supérieur à la classe c
de M. Pour que les q fonctions distinctes f\,f\, fq forment un
groupe de rang r, il faut et il suffit que le produit symbolique
(11) ^iO-Ddfdf^ ,,dfq
soit nul, tandis que les produits symboliques (J^^df^ ... djq, où i <Cc — r, sont différents de zéro.
La condition est nécessaire. En effet, si l'on a pris un nouveau système de variables /i,' ..., fq, yq^A, ■•, yn, la forme dérivée ct(c— z") de la forme nr, déduite de w par ce chang-ement de variables, ne doit renfermer aucun terme où ne fie-ure au moins une des
