CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

difFérentielles df^^ dfq, puisque cette forme dérivée doit être

nulle, quand on suppose df^^ =o, . . ., dfq^ o. Réciproquement, si le produit symbolique (ii) est nul, la forme cr^'^-'"* est nulle quand on y supprime tous les termes en df^, ..., dfq. Les relations (lo) abaissent donc la classe de « d'au moins r unités. Elles ne peuvent l'abaisser de plus de r unités ; en- effet, si elles l'abaissaient davantage, le produit symbolique tJ^^—^—^'^df . . . dfq devrait être nul.

Il résulte de là que. si un produit symbolique

rjn^^df.-.dfq

est nul, il eu est de même de tous les produit symboliques

<.'«-l>e(/; ... dfq, «Cn+Î.^/, ..: dfq, ... .

L'équation m^'^—^^dj = o, où r > 2, ne peut admettre d'autre intéerrale quey^G, puisqu'on a remarqué plus haut n^ 41) que les relations y = o. df^= o ne peuvent abaisser la classe de «» de plus de deux unités.

Le ransr d'un groupe de q fonctions n'est pas forcément éçal à la somme des ranai's des q fonctions y^, y,, . . . ,fq de ce groupe. Par exemple, les deux fonctions x^. j?., sont de ransf deux pour la forme w == dx, + x,dx.^ 4- x^dx^. et le groupe (j?,, x.^) est luimême de ransr deux. Dans ce cas, le ranar du groupe est inférieur à la somme des rangs des deux fonctions qui constituent le groupe. H peut aussi être plus grand ; ainsi, pour la même forme,

j"i et Xi + — sont de rang un, tandis que le srroupe ixi^Xi -\ ^|

est de rang trois, car si Ion pose ar, = a, a?i -\- ^ =z b, la forme m

devient

Xîd I 0^3 + (6 — à)Xr,\.

Le rang d'un groupe de q fonctions distinctes ne peut être supérieur à 2q. Soient, en effet, w^ la forme que l'on déduit de w en établissant la relation^ = a^ entre les variables, w» la forme que l'on déduit de «i en établissant une nouvelle relation y^ ^«j, et ainsi de suite ; la dernière forme obtenue '^tq est identique à xs. Dans la suite des formes w,. w,, ..., wy, la classe ne peut s'abaisser de

plustle deuxunitésquand on passe d'une forme àla suivante(n'' 41). La dernière forme wg = rn est donc au moins de classe c — 2q, et ce minimum ne peut être atteint que si chaque relation nouvelle fi = ai abaisse la classe de deux unités. De plus, cet abaissement de deux unités dans la classe doit toujours avoir lieu quel que soit l'ordre dans lequel on effectue les opérations, quand on introduit une relation de plus entre les variables. Nous dirons que ^ fonctions distinctes/j, /g, '..,fq formant un g-roupe de rang- iqi^iq^c) constituent un groupe de q fondions conjuguées, ou plus simplement un groupe conjugué. Des explications qui précèdent résultent immédiatement les conséquences suivantes :

i" Pour que q Jonctions distinctes y"^, f, . . .,fq forment un groupe conjugué, il faut et il suffit que le produit symbolique

ro(^-^i)dfi ... dfq soit nul.

2" Si f, f^, . . .,, fq forment un groupe conjugué, r fonctions quelconques f^ , ■ ■ •■,f^ appartenant à ce groupe forment aussi

un groupe conjugué de r fonctions.

On peut supposer en effet que l'on passe de w à cr en introduisant d'abord les r relationsy^ = aj, ..•,/^ = Or, ce qui doit conduire, on l'a vu, à une forme de classe c — 2r.

En particulier, chacune des fonctions du groupe doit être de rang- deux, mais la réciproque n'est pas vraie, comme on l'a remarqué plus haut.

Pour une forme w de classe 2p ou 2p -{- 1, il ne peut exister de g'roupe conjug-ué de plus de zp fonctions. La connaissance d'un groupe conjugué de 2p fonctions permet de ramener w à une forme canonique par un changement de variables.

Soit M une forme de classe 2/9, et soit {f\,fi, •..■, fp) un g-roupe conjug-ué de p fonctions. Quand on prend un système de variables parmi lesquelles fig-urent ces /> fonction s y"/, m se chang-e en une nouvelle forme linéaire

(12) m = ^sdf + . . . + B^c//;, + B^+^c^^^+i -f ... + ^ndyn-

Si l'on remplace dans cette forme df^, ..., df^ par zéro, la classe de la nouvelle forme doit être zéro, quelles que soient les constan-