CHAPITRE IV. — APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

tes par lesquelles on remplace /"i, . . .,f^ dans B^,^,, . . .,B„. Il faut évidemment pour cela que ces coefficients B^^j, ..., B,, soient nuls, et la forme rs se réduit à ses p premiers termes

Les/> coefficients Bi, . . ., Bp doivent former asec fi, . . .,f^ un système de 2p fonctions distinctes ; sans quoi la forme ni serait de classe inférieure à 2p. En prenant pour variables ces 2p fonctions, la forme &> est donc ramenée à une forme canonique

CT = Zidyy + . . . -f- Zpdy^.

Connaissant un groupe conjugué de p fonctions, on voit que cette réduction exige seulement un changement de variables tel que les p fonctions yi.ys, . . ■■,/,, du srroupe soient précisément/) des nouvelles variables, les autres pouvant être prises d'une façon arbitraire. On peut aussi obtenir les coefficients B, par un calcul d'identification avant tout changement de variables.

Considérons maintenant une forme oj de classe 2.p -{- i. et soit ifiyft" •••■> fp'i **° groupe conjugué de p fonctions pour cette forme. Le même changement de variables que dans le premier cas conduit à une nouvelle forme a dans laquelle l'ensemble des termes qui suivent les p premiers

Bp+iC^yp^i + . . . + B„rfy,

représente une forme de classe un, c'est-à-dire une différentielle totale d\j, quand on regarde yi, ■",J'p comme des constantes dans Bpj.j, . . ., B„. On peut donc écrire

^P^idy^.. + . . . + BJy„ = dU -^d/, - . . . -'^d/^,

et par suite

^ = Cdf, + . . . + C^d/^ + du.

Les 2p + I fonctionsy*!, •••,fps Cj, ..., C^,, U doivent encore être distinctes et, en les prenant pour nouvelles variables, tj est ramené à une forme canonique

co = z,dy^ + . . . 4- z^dy^ + dy^^,.

On voit que cette réduction exige, outre le changement de variables, une quadrature.

44. Détermination d'un groupe conjugué. Première méthode. — De la définitioa même d'un groupe conjugué, on déduit aisément une méthode de recherche de ces groupes. Soient (^ une forme de classe e, eiy'i une intégrale de l'équation symbolique

équivalente au système complet adjoint 2^, qui admet c — i intég-rales distinctes. L'équation symbolique

(i4) <^{c-i)dJ\df=o

est elle-même équivalente à un système complet admettant c — 2 intég-rales distinctes, y compris y"==yi. Supposons en effet que l'on ait pris la fonction y^ elle-même pour l'une des variables, et soit w^ la forme déduite de w en posant J'^ = a^, df^ = o. Cette forme w^ est de classe c — 2, et l'équation symbolique (i4) est équivalente à l'équation

(i5) u>,(c-i^df=o

que l'on déduit de l'équation (i4) en supprimant dans 6j(c— 'i) tous les termes où fig-ure d/i. La forme wi étant de classe c — 2, l'équation wi'<^— *)<//' = o admet c — 3 intég-rales distinctes, qui peuvent dépendre dej\ en même temps que des autres variables, et qui sont données par l'intég-ration du second système adjoint à la forme wi. Soity, une intég-rale de ce nouveau système. L'équation symbolique

(16) , Jo-&>dj\df,d/=0

admet à son tour c — 5 intég'rales distinctes, non compris les intég-rales évidentes /*=yi, y =^2- En effet, pour la même raison que tout à l'heure, cette équation symbolique est équivalente à l'équation

(17) ^.J.c-&)df=o,

0)2 étant la forme que l'on déduit de « au moyen des quatre relations

/i ^ ^i'./2 = ''^2' ^fi = O5 df\ = o ;