CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES

cette forme w^ étant de classe e — 4» l'équation (17) admet c — 5 intéarrales distinctes, qui s'obtiendraient par l'intégration d'un système complet, dont on connaît déjà deux inté2;'ralesy^,y*j.En continuant de la sorte, on en déduit la méthode g^énérale suivante pour obtenir un groupe de q fonctions conjuaruées relatif à une

forme w de classe c iq ^—\ .

On cherche une intégrale fi de r équation symbolique

Jc-^)df= O,

puis une intégrale f^, distincte de/^, de F équation

c^^^-^^'d/idf^ o, puis une intégrale J".^, distincte de/^ ^t.f2-> ^^ l'équation ^(c-(.)df,dfidf= o,

et ainsi de suite, .. enfin une intégrale fq, indépendante de fi^ff ' • -'fq-u de V équation &>(«" -2^'c(/*i . . . dfq-\df=o.

Cette recherche exi are les opérations c — i,c — 3, ...,c — zq -\- i. Eu particulier, si c = 2/), la recherche d'un groupe âe p fonctions conjuguées exige les opérations ap — i, 2/) — 3, ...,3, i. Si c = 2p -\- I, cette recherche exige les opérations 2p,ip — 2, ...,4,2. Les intégrations à eÉFectuer pour ramener m à une forme canonique sont donc les mêmes que celles qu'exisre la méthode du n° 12, qui ne difiFère pas essentiellement de celle-ci. Mais la nouvelle méthode offre cet avantaare, de n'exiger un chançremeut de variables que lorsqu'on a achevé de déterminer la moitié des fonctions qui doivent figurer dans la forme réduite, tandis que le procédé du n" 12 suppose un changement de variables après chaque intégration (').

Remarque. — Lorsque w est de classe impaire 2/> + i, après avoir déterminé les/) fonctions yi,y2, ...,fp d'un groupe conjugué, on peut, avant tout changement de variables, déterminer une intégrale fp-^i, indépendante de fi,f±, . . . , fp, de l"équation symbolique

wrf/i .. . (Iff4f= o.

C) Pour une forme de classe paire, la méthode de réduction de Frobenius ne difiFère que par la forme de celle qui vient d'être exposée. Pour une forme w de classe impaire, Frobenius commence par déterminer une fonction/ telle w — df soit de classe paire.

La forme donnée w peut alors s'exprimer au moyen des différentielles dfi, ..., dfp, dfp-\-\ seulement, dont on peut, comme tout à l'heure, calculer les coefficients Bj par identification :

« =: Birf/i -f . . . + Bpdfp + Bp-i-irf/p-j-i.

De plus B/j-i-irf/Jg-f-i doit être de classe ««, quand on y regarde /,, .,.,/'p comme des constantes, ce qui exige que Bp-t^i ne dépende que de

I\ifï'> •• ifp+^- Il suffit alors de prendre pour variable / B^+icÇ/Jj+i, à la place A& fp-\-i, pour obtenir une forme canonique. Exemple. — Soit

w = x^dXi -\- XidXi — x?,x^dx^ — x%x^dx«, + '^idXf^ ;

on a

w' =r — x^dx^dx^ — x^dx^dx^ -\- dx^dx^,

w'" =: — (&)')2 = — x^dx^dx^dx^dx^ — x^dx^dx^dx^dx^,

oiV — o ;

d'autre part, on s'assure aisément que m"" =z 'J"m n'est pas nul. La forme «o est donc de cinquième classe. On voit immédiatement, sans qu'il soit nécessaire de développer, que/"^ x^ est une intégrale de

on peut donc prendre /"i =z x^. On reconnaît de même quey =: x-i est une intégrale de l'équation symbolique

(ù'dfidf = — (x^dx^dx^dx^ + oc^dxidx«,dx^)df =: o .

Il en résulte que si l'on remplace .Tg et Xg par des constantes dans w, on obtient une différentielle totale. On peut écrire en effet

w = Xidxg + d{xiXî — X:)X^Xi) + x.yVidxs,

et M est mis sous forme canonique.

45. Détermination d'un groupe conjugué. Deuxième méthode. — Nous démontrerons d'abord les deux lemmes suivants :

Lemme 1 . — Soit m une forme de classe c. Si Von a

w(c-3)to^ z= O,

Wj étant une autre Jorme linéaire^ la classe c est un nombre impair, et wj est identique à m à un fadeur près.