CHAPITRE IV. APPLICATION DES FORMES SYMBOLIQUES
Lemme II. — Si Von a
la classe c est un nombre pair et wj est identique à w.
Il suffit évidemment de démontrer ces lemmes pour une forme canonique. Soit
'^ = y^dx, + . . . + y^dx„
une forme de classe c = 2m ; on a
«(c-3, .j^n-3) = 1^2^ = sdy.dx, . . . dy^,dx^„
chaque produit partiel se déduisant de dyidxi . . . dy„^dx^ en supprimant un groupe de deux facteurs dyidxi (n» 42. p. i64). Pour qu'un produit symbolique
ÇLdy^dx^ . . . dy^idx„^){lciidxi + ^^idyi)
soit nul, il faut que tous les coefficients a, et S, soient nuls, car le terme xidx^dy^dx, . . . dy^^dx^ par exemple ne se réduit avec aucun autre.
Prenons en second lieu une forme de classe impaire 2m -f- i
« = </r + yidXi + . . . + yjix^ ;
(m—i)l = {^dy.dx, . . . dy^^dx^ {dz + y^dx^ + • . •)•
On a déjà la relation w(<^-'>» = o; si l'on a aussi w(<^— 3),^^ =0, 0)1 étant une autre forme linéaire, le produit symbolique
«(c-3.(tOj — Kto)
sera nul, quelque soit le facteur K. Choisissons ce facteur de façon que wi — Kw ne renferme pas ds,
Wi — Kw = Ixidxi 4- ^Pidyi ; on aura
CLdy^dx^ . . . dy^^dx^,){dz + lyidxi)(L%idxi + ^hdyi) = o.
En considérant tous les termes qui contiennent dz, ou voitj
comme tout à l'heure, que tous les coefficients a/ et P/ doivent être nuls, et w^ est identique à Kw.
Le second lemme se démontre de la môme façon. Pour une forme w de classe paire
on a
w(o-2i ^ {^:.dy,lx,dy^ . . . dy,,^dx„,^)r^,
Si l'on a d'auti^e part w(c-2)-- «('^-3)^^^ w^ étant une forme linéaire, ' on en conclut que le produit rJ''-'^)(^M — wj) est nul, ce qui exige, on vient de le voir, que m^ = w.
Pour une forme de classe impaire
o^ = dz + y^dxi + ... + ^/„^6^^„^, «(c-2) = dyidx^ . . . dy^^dx^,,,
w(c-3) = (Idy^dXi ... dy„,,dx,,^){dz + y.dx^^ ... + y„^dx„,). On ne peut avoir
car le premier membre ne contient pas dz, tandis que le second membre renferme des termes en dz, à moins que M^ ne soit nul. Cela étant, soient w une forme linéaire de classe c et {J\, ...,fq)
un groupe conjug-ué de q fonctions iq<i — \. V équation symbolique y (i8) . r.i'^-'^^-^W.df, . . . df,df= o
est équivalente au système
(ig) „,^<^-^)df— o, ... w(c-3)^/^(//= o, . . ., t^^o-Z)dfqdf= o.
Il est évident en effet que toute fonction y qui annule le produit symbolique (i8) annule aussi tous les produits symboliques (19) (no 44). Pour démontrer la réciproque, comme la propriété est indépendante du choix des variables au moyen desquelles on a exprimé w, nous supposerons qu'on a ea?primé w au moyen de C variables canoniques j/i,/^, • • ■,J'q ety*sont alors des fonctions
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des mêmes variables. ^La relation (i8) exprime que/ est de ranar deux par rapport à la forme -m déduite de w au moyen des q relations
établies entre les variables canoniques. Cette forme ci est de classe c — zq par hypothèse, et par suite les fonctions de rang- deux par rapport à in sont déterminées par un système complet qui admet c — ay — i intég^rales distinctes, en plus des intégrales évidentesyj,^^, .. .,y^. L'équation (i8) conduit donc pour déterminery"à un système complet S qui admet c — q — i intég-rales distinctes. Comme la fonction y dépend de c variables, tout système de y 4- I équations linéaires et homog^ènes par rapport aux dérivées dey est équivalent au système S, pourvu que ces équations admettent toutes les intég-rales de 1 et soient linéairement distinctes. Or les q -{- i équations du système (19) sont linéaires par rapport aux dérivées dey, car «(<^-2) et 'J-'^—'^'^dfi sont des formes de deg^ré c — i, et ces équations admettent toutes les intég-rales du système 1. Il suffit donc de montrer que ces q 4- i équations (19) sont linéairement distinctes pour prouver que le système S est identique au système (19).
Si les y dernières équations (19) n'étaient pas linéairement distinctes, on aurait une relation de la forme
«(0-3) \ \df, + Hdf, + . . . + VA \ df= o,
où \, )2, . .., \ sont des fonctions des variables indépendantes, non toutes nulles, qui devrait être vérifiée quelle que soit la fonc tiony II ne peut en être ainsi que si le produit
«(0-3)(X,cfy + . . . + \dfq) = o.
Ceci exig-e que \c//*t + • • • + \d/q soit identiquement nul, ou bien que AjcÇ/*! 4- ••• + ^^-qdfq soit identique à wà un facteur près, la classe c étant un .nombre impair. La première hypothèse est à rejeter puisque tous les coefficients /, ne sont pas nuls, et que les fonctionsy,y2, ...,yySont indépendantes. La seconde hypothèse est aussi à rejeter, car la classe de w serait au plus ég-al à 2y, et comme c est impair, on aurait c <[ sy, ce qui est absurde.
176 LEÇOiNS SUR LE PROBLÈME DE PFAFF.
Si la première des équations (19) était une combinaison linéaire des autres, on aurait de même une identité de la forme
..(0-2) = .,(c-3)(X^jy; + . . . + \df,^.
Il faudrait que \dfi + . . . 4- \dfq fût identique à w, et l'on aurait c = 2y. L'équation symbolique (18) n'a alors aucun sens.
De la proposition précédente on déduit une nouvelle méthode pour déterminer un groupe de q fonctions conjug-uées.
Soit fi une intégrale de Véquation &j<o— 2)(/^:^ o, on cherchera une intégrale fi, distincte def, du système
^(c ^')df=z 0, r^ic-M/\df= O,
puis une intégrale/.^, indépendante de J\ et fi^ du système «(c-2)r//=o, r,>{c-3)dfdf=o, ro«^-^)df^df=o,
et enfin une intégrale fq, indépendante dej^,/^, •••>fq 1 ^" ^U^' tème
w(c-2)(//= o, w(o-3)^/^<//= o, . . . ^i<^-^)dfq-\df = 0.
Il résulte en effet de la proposition précédente, que les groupes successifs {/,, />), {/,, /g, /g), . • • (/i,/?, . . . ,/y) de 2, 3, ...,q fonctions sont des groupes conjugués.
Il est clair que le nombre des intégrations à effectuer est le même dans les deux méthodes, puisque nous n'avons fait que remplacer un système complet par un système complet équivalent. Mais la nouvelle méthode est beaucoup plus simple pour la formation des systèmes complets successifs dont on a à rechercher une intégrale particulière, car chacun d'eux contient toutes les équations du système précédent ; de plus dans chacune de ces équations, il ne figure qu'une des intégrales déjà obtenues. Supposons en particulier que la classe de m soit égale au nombre n des variables indépendantes qui figurent dans cette forme. Chacun des produits symboliques
est de degré n et par suite contient un seul terme en dx^dx^.-. dx^^t En égalant à zéro un quelconque de ces produits, on obtiendra donc
